Mohr

Para o estado de tensões dado, determinar as tensões, normal e de cisalhamento, exercidas sobre a face oblíqua do triângulo sombreado do elemento. Usar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio desse elemento. Representar graficamente o triângulo de forças e as tensões finais do elemento.

Com uso das identidades trigonométricas encontramos:

Sabemos que:

, ,

Então:

,

Substituindo as expressões de sen2, cos2 e sen 2:

Caso seja necessário identificar a tensão normal no eixo y^' basta acrescentar 90̊ em ϴ na equação do eixo x^'.

σ_y'=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡〖2(θ+90̊)〗+τ_xy sin⁡〖2(θ+90̊)〗

σ_x'=-1188,7152MPa

τ_x'y'=84,492MPa

σ_y'=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡〖2(θ+90̊)〗+τ_xy sin⁡〖2(θ+90̊)〗

σ_y'=(〖40〗_ +0_ )/2+(40-0)/2 cos⁡〖2(50+90̊)〗+(-30 sin⁡〖2(50+90 ̊))〗

σ_y'=

σ_x'=-1188,7152MPa

τ_x'y'=84,492MPa

σ_y'=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡〖2(θ+90̊)〗+τ_xy sin⁡〖2(θ+90̊)〗

σ_y'=(〖40〗_ +0_ )/2+(40-0)/2 cos⁡〖2(50+90̊)〗+(-30sin⁡〖2(50+90 ̊))〗

σ_y'=

Aplicação das fórmulas para obtenção dos planos e tensões principais.

Aplicação da fórmula para obtenção da tensão máxima de cisalhamento.

Esquematização das tensões principais, média e de máximo cisalhamento no plano.

Obtenção das tensões principais, média e de máximo cisalhamento aplicando o círculo de Mohr. Para o estado de tensões dado, determinar (a) os estados planos principais; (b) as tensões principais; (c) representar graficamente o círculo de Mohr e as tensões do elemento.

σ τ

x(-80, -70)

y(-110,70)

σmedio=((σx+σy))/2=(-80-110)/2=-95MPa

τmax=R=√(⟦1/2 (σx-σy) ⟧^2+〖τxy〗^2 )=√(⟦1/2 (-80+110) ⟧^2+〖70〗^2 )=71,5891MPa

σmin=σmedio-τmax=-95+71,5891=-23.5891MPa

σmax=σmedio+τmax=-95-71.5891=-166,5891MPa

tg 2ϴ_s=τxy⁄(1/2) (σx-σy) =70⁄(1/2) (-80+110)= 38.95

ϴσmin=38.95

ϴσmax=128.95