O estudo da função de primeiro grau

Introdução

O estudo da função do primeiro grau é muito importante no estudo de variações de grandezas em diferentes situações e também, na análise de gráficos usados no nosso dia a dia. A função do primeiro grau, além da Matemática, é usada em outras áreas do conhecimento, como na física, na química, na biologia e em outras ciências. A função do primeiro grau é muito usada para mostrar a taxa de variação. Sempre que essa taxa de variação for linear, ou seja, a mesma durante todo um período, essa variação pode ser indicada por uma função do primeiro grau. Um exemplo seria o quanto varia o volume de uma caixa d'água em função do tempo, admitindo que a vazão de água seja constante. Pode indicar a posição de um automóvel numa rodovia, se ele estiver em velocidade constante.

Baseado nesse conceito este estudo tem o intuito de demonstrar como é usada função de primeiro grau dentro de uma análise de custos uma organização.

Etapa 1

Passo 1- Resumo Função 1º Grau

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.Na unção f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 • 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a • 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Função de 1º grau

Zero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas:

O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento

Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes

valores de y também aumentam. Dizemos, então que a

função y = 3x - 1 é crescente.

Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);

a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:

• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Modelos Lineares

Analisaremos agora as funções polinomiais do primeiro grau, chamadas simplesmente de funções do primeiro grau; estas representam um dos tipos de funções mais simples e de grande utilização.

Funções do 1o Grau

No exemplo a seguir, a Tabela 2.1 traz o custo para a produção de camisetas.

Tabela 2.1 Custo para a produção de camisetas

Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade.

Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100

Custo(C) ($) 100 110 120 140 200 300

Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta em $ 10,00; se há um aumento de 10 unidades, o custo