Onda Senoidal

Onda Senoidal

Introdução

As formas geométricas das ondas, em particular a retangular e a triangular, já nossas conhecidas de textos anteriores, foram postas com o objetivo de ilustrar determinados princípios. Porém, simples como possam parecer tais ondas, o emprego de qualquer uma delas como norma, complicaria a matemática e a prática das correntes alternadas. Todavia, essas ondas não são encontradas comumente no dia-a-dia; nenhuma delas está de acordo com nossa idéia corriqueira de onda, já que a temos em vista como uma curva contínua.

Porém, algumas curvas, ainda que contínuas como as queremos, podem apresentar diferentes formas, pelo que foi necessário escolher uma onda que obedeça a uma lei matemática. A norma que se usa baseia-se em uma das funções trigonométricas fundamentais, a saber, o seno de um ângulo. A curva senoidal é o gráfico do seno de um ângulo (em geral expresso em radianos) traçada em função do ângulo; qualquer onda dessa forma é denominada de senoidal, senóide ou ainda sinusóide. A função em questão é então do tipo:

y = sen x

ou na sua forma, mais geral,

y = a.sen(x + b)

onde y é a função senoidal, x o ângulo em radianos, sendo a e b constantes em relação a x.

A curva senoidal tem numerosas aplicações. São exemplos os muitos sistemas mecânicos oscilatórios --- o sistema massa-mola, o diapasão, o pêndulo simples --- onde o movimento é 'harmônico simples', ou seja, onde o gráfico do deslocamento, quando traçado tomando-se o tempo como variável independente, dá como resultado uma senóide.

Nesse presente texto investigaremos a aplicação da curva do seno para as grandezas alternantes. Destacaremos suas vantagens particulares para esse propósito, ainda que algumas serão melhor apreciadas ao longo do amadurecimento do aprendizado.

A curva senoidal

Qualquer livro de tabelas matemáticas inclui os valores dos senos naturais para ângulos até 90o. Uma calculadora científica, mesmo as mais simples, dá diretamente o valor do seno de um ângulo até com 9 casas decimais; esses valores podem ser empregados para traçar a curva. Na ausência de tabelas e calculadoras ainda poderemos traçar uma curva aproximada se memorizarmos os seguintes valores: sen 0o= 0; sen 30o = 0,50; sen 60o = 0,86 e sen 90o = 1.

Todavia, será bem mais instrutivo nesta etapa inicial desenvolver a curva senoidal mais simples, dada pela função y = sen q, através da técnica indicada na ilustração abaixo, onde se usa da idéia de 'raio girante':

O raio r da circunferência ABCD inicia seu movimento de rotação em torno de O, a partir da posição OA, girando em sentido anti-horário. Na posição ilustrada acima, o raio está deslocado do ângulo q e o sen qfica definido pela relação (razão) entre a perpendicular p e o raio r. Todavia, se r é tomado como a unidade de medida linear, resultará que p será numericamente igual a sen q e poderá ser projetado para obter um ponto da curva, como se ilustra acima, à direita da circunferência. Outros pontos poderão ser obtidos de modo semelhante, girando r sempre no sentido anti-horário.

O ângulo q não precisa, necessariamente, ser medido em "graus"; como boa alternativa, a linha base (eixo das abscissas, no gráfico) pode exibir medidas circulares, como é o caso do "radiano", como se indica na ilustração. Sabemos que 2p radianos corresponde a 360o, logo 1 rad = 360o/2p = ~57,3o. Vale lembrar: 0o= 0 rad; 30o = p/6 rad; 60o = p/3 rad; 90o = p/2 rad; 180o = p rad; 270o = 3p/2 rad; etc.

O uso do radiano para a medida de ângulo, além de ser a unidade oficial do Sistema Internacional, tem a vantagem de simplificar muitas fórmulas de C.A.

Gerando um f.e.m. senoidal

Em princípio é bastante simples produzir uma f.e.m. que siga a lei dos senos; tudo que se necessita é fazer girar um quadro de fio, ou uma bobina, à velocidade constante, em um campo magnético uniforme, ainda que, como veremos depois, existem certas dificuldades para a aplicação desse princípio básico aos alternadores práticos.

Por simplicidade, representamos apenas um único condutor na ilustração abaixo (x), deslocando-se desde A até a posição definida pelo ângulo q e cortando obliquamente as linhas do campo de indução B, no vácuo ou ar.

A velocidade tangencial V, pode ser decomposta em dois componentes ortogonais u e v, um paralelo e outro perpendicular ao campo de indução B, de modo que, pela geometria da figura, podemos escrever para seus módulos: u = V.cos q e v = V.sen q. O componente v determina a rapidez com que o condutor corta as linhas de indução do campo e, portanto, é a velocidade que interessa no equacionamento da f.e.m. instantânea gerada no condutor móvel.

Sabemos, do eletromagnetismo, que a f.e.m. gerada num condutor de comprimento L que se desloca com velocidade v perpendicularmente às linhas de indução de um campo cuja densidade de fluxo é B é expressa por:

E = B.L.v

com B em tesla (T), L em metros (m) e v em metros por segundo (m/s), E resultará em volts (V).

Essa expressão pode ser usada para a f.e.m. instantânea (e) induzida no nosso condutor móvel (x), simplesmente substituindo-se v por Vsen q:

e = B.L.V.sen q

Nessa expressão, BLV representa a f.e.m. máxima (valor de pico), Emáx., de modo que:

e = Emáx.sen q

Esta é a expressão básica para uma f.e.m. senoidal, independente do modo como foi gerada; pode também ser empregada para representar outras grandezas senoidais, como a intensidade de corrente alternada por exemplo, substituindo-se os símbolos apropriadamente.

Freqüência angular (w)

Suponha que o condutor (x) ilustrado acima execute f revoluções por segundo. Assim, f é a freqüência e, posto que gira de 360o (ou 2p rad) em cada volta, sua velocidade angular (o total de ângulo que descreve em cada segundo) será 360.f. O valor de q em graus, vale então 360.f.t, onde t é o tempo em segundos transcorridos desde o início do movimento em A ou, simbolicamente: q = 360.f.t .

Se q for medido em radianos, na expressão acima basta substituir 360 por 2p e teremos: q = 2p.f.t , onde2p.f é a velocidade angular do condutor em radianos