Proporção Com números

Proporções com números

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

A

________________________________________B = C

________________________________________D

1. Os números A, B, C e D são denominados termos

2. Os números A e B são os dois primeiros termos

3. Os números C e D são os dois últimos termos

4. Os números A e C são os antecedentes

5. Os números B e D são os consequentes

6. A e D são os extremos

7. B e C são os meios

8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

Para a proporção

A

________________________________________B = C

________________________________________D

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A • D = B • C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

A+B

________________________________________A = C+D

________________________________________C e A-B

________________________________________A = C-D

________________________________________C

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

A+B

________________________________________B = C+D

________________________________________D e A-B

________________________________________B = C-D

________________________________________D

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

A+C

________________________________________B+D = A

________________________________________B = A-C

________________________________________B-D e A+C

________________________________________B+D = A-C

________________________________________B-D = C

________________________________________D

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X

________________________________________Y = K

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

15 minutos

50 cm 30 minutos

100 cm 45 minutos

150 cm

2. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

Tempo (min) Altura (cm)

15 50

30 100

45 150

3. Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

4. Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

15

________________________________________30 = 50

________________________________________100 = 1

________________________________________2

6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

15

________________________________________45 = 50

________________________________________150 = 1

________________________________________3

7. Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h)

80 1

160 2

240 3

9. Notamos que quando duplica