RELAÇÃO ENTRE, e um conjunto completo

A RELAÇÃO ENTRE ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA – REVELANDO

ALGUNS PROBLEMAS

Allan Escarlate (Mestrado em ensino de matemática - IM-UFRJ) -

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Resumo

Este artigo tem como objetivo expor os resultados de uma pesquisa feita com alunos

universitários sobre suas concepções em relação ao conceito de integral definida e as

relações entre este conceito e o conceito de área. Para isso, um questionário foi aplicado

em um grupo de alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRJ que já

concluíram os cursos iniciais de cálculo. Os resultados foram analisados e discutidos à

luz das teorias de imagem de conceito, definição de conceito e raiz cognitiva.

Dificuldades de diversos tipos foram apresentadas pelos alunos em relação a questões

teóricas e práticas relacionadas com integral. Fica claro o estreitamento das imagens de

conceito dos alunos e isso pode ser atribuído à predominância da interpretação

geométrica da integral como área. Apesar de ser familiar para os alunos, a noção de área

sob a curva acaba se tornando em algum momento uma definição para o conceito de

integral definida. Sendo assim, uma discussão sobre a viabilidade da idéia de área sob a

curva como raiz cognitiva para o conceito de integral constitui o assunto central deste

trabalho.

Palavras chave: imagem de conceito, raiz cognitiva, integral definida.

1. Introdução

Nos últimos anos, muitas pesquisas têm sido realizadas sobre ensino e

aprendizagem de cálculo elementar, a maioria destas tratando de limites e derivadas e de

conceitos diretamente ligados (e.g. VINNER, 1983; TALL, 1989; WINIKI-LANDMAN

& LEIKIN, 2000; GIRALDO, 2004; BIZA et al, 2006). No entanto, encontra-se na

literatura de educação matemática um número relativamente pequeno de trabalhos

enfocando a aprendizagem de integrais. O presente trabalho tem por objetivo geral

investigar as concepções de alunos em fase inicial de aprendizagem de cálculo sobre o

conceito de integral definida e suas interpretações geométricas.

Utilizando como referencial teórico as noções de imagem de conceito, definição de

conceito (TALL & VINNER, 1981) e raiz cognitiva (TALL, 1989), procuramos mostrar

que grande parte dos alunos adquire uma idéia imprecisa da definição de integral

definida, e que essa concepção provoca erros até mesmo em situações

consideravelmente simples. Nossas conclusões estão baseadas em uma pesquisa

realizada com alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRJ. Estes

resultados coincidem em grande parte com os de pesquisas semelhantes realizadas em

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outros países (ORTON, 1983; RASSLAN & TALL, 2002; GONZÁLEZ-MARTÍN &

CAMACHO, 2004), o que reforça as conclusões.

Na seção 2, expomos um resumo do referencial teórico mencionado acima. Na

Seção 3, são feitas referências a alguns trabalhos de pesquisa relacionados com o

conceito de integral e as questões de pesquisa são explicitadas. A metodologia da

pesquisa consta na seção 4, assim como a apresentação de alguns dados empíricos. Uma

análise destes é feita na seção 5 e algumas considerações são comentadas na seção 6.

2. Referencial teórico

A teoria de imagem de conceito, desenvolvida por David Tall e Shlomo Vinner se

baseia na concepção defendida pelos autores de que a introdução de um determinado

conceito matemático através de sua definição formal (aquela amplamente aceita pela

comunidade matemática) não constitui uma boa alternativa, em termos pedagógicos.

Segundo os autores, para que a definição formal seja satisfatoriamente compreendida

pelo estudante, é preciso que haja uma familiarização anterior com o conceito em

questão, desenvolvida com base em impressões e experiências variadas.

Esse conjunto de experiências e impressões relacionadas a um determinado

conceito formam o que os autores denominam de imagem de conceito, que é definida

como a estrutura cognitiva total associada ao conceito, que inclui todas as imagens

mentais, processos e propriedades associadas a um dado conceito. Essa imagem de

conceito se desenvolve e sofre modificações ao longo do tempo conforme o indivíduo

se depara com novos estímulos.

A imagem de conceito pode ou não incluir uma sentença de palavras que especifica

o conceito dado, chamada pelos autores de definição de conceito. Esta sentença pode

ser uma construção pessoal do próprio aluno, sendo uma forma de palavras usada por

ele para explicar o conceito do seu ponto de vista, utilizando para isso, sua imagem de

conceito. Assim, a definição de conceito pode ou não ser consistente com a definição

formal