Regra De Cramer

SMA0300 - Geometria Analtica - Estagio PAE - Alex C. Rezende

Regra de Cramer

Consideremos um sistema linear em que o numero de equac~oes seja igual ao numero

de incognitas. Nestas condic~oes, a matriz An associada ao sistema e quadrada. Seja

D = detA.

Teorema (Regra de Cramer): Seja S um sistema linear com numero de equac~oes

igual ao de incognitas. Se D 6= 0, ent~ao o sistema sera possvel e tera soluc~ao unica

(1;


; n) tal que

i =

Di

D

; 8i 2 1; 2;


; n;

onde Di e o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-esima coluna pela

coluna dos termos independentes das equac~oes do sistema.

Demonstrac~ao: Consideremos o sistema:

S =

8>>>><

>>>>:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +


+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +


+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 +


+ a3nxn = b3

an1x1 + an2x2 + an3x3 +


+ annxn = bn

:

Consideremos as matrizes:

A =

2

66664

a11 a12


a1i


a1n

a21 a22


a2i


a2n

a31 a32


a3i


a3n

an1 an2


ani


ann

3

77775

; X =

2

666664

x1

x2

x3

...

xn

3

777775e

C

= 2

666664

b1

b2

b3

...

bn

3

777775

:

O sistema S pode ser escrito na forma matricial A
X = C. Provemos que tal equac~ao

matricial admite soluc~ao unica.