Resolução Halliday - Vol. 1 - 4ª Edição - Questão 15P

Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com a velocidade escalar de 30km/h. Quando estão a 60km de distância um do outro, um passáro, que voa a 60 km/h, parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem, ele volta para o primeiro, e assim por diante. (a) Quantas viagens o passáro faz, de um trem para o outro, até a colisão? (b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro ?

Respostas:

(a) Matematicamente um numero infinito

(b) 60 km

Velocidade relativa de aproximação dos trens 60km/h

Velocidade relativa de aproximação entre trem e pássaro 90km/h

tempo até a colisão 1h (isto já responde ao ítem b, pois o pássaro tem uma hora para voar, tempo em que pode percorrer 60km)

As viajens do bichinho:

1- primeiro encontro com um trem t=\frac{2}{3}h

até aí a distância entre os trens está reduzida para d=60-\frac{60.2}{3}\right\,20km

2- encontro com o trem de onde saiu t=\frac{2}{9}h

a nova distância agora é d=20-\frac{60.2}{9}\right\frac{20}{3}km

3- o encontro seguinte consome t=\frac{2}{27}h

já deu prá intuir que as viajens do pássaro consomem um tempo total de T=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+.....\frac{2}{3^n} que é uma PG decrescente de razão \frac{1}{3}, com a_1=\frac{2}{3}. O número de viajens que o pássaro fará será igual ao número de têrmos dessa PG quando a sua soma for igual a 1 (hora)

a soma desse tipo de PG é dada por S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}

1=\frac{\frac{2}{3}(\frac{1}{3^n}-1)}{\frac{1}{3}-1}

prá lá e prá cá, chegamos em {-}\frac{1}{3^n}=0 o que ocorre para n=\infty