Servomecanismo

Aula-tema: Projeto de sistemas de controle pelo método do Lugar das Raízes. Atividade importante para se aprender os primeiros passos para fazer o projeto de sistemas de controle.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1.

Considerar o sistema de controle das figuras 1 e 2 apresentadas a seguir:

Introdução:

O Controle pelo método do Lugar das Raízes que consiste basicamente em levantar a localização dos pólos de um sistema em malha fechada em função da variação de um parâmetro K.

O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localização de pólos e zeros do sistema em malha fechada, que deve ser traduzida através da escolha da estrutura do controlador e de seus parâmetros.

Desta forma, a utilização do lugar das raízes pode ser útil no projeto de controladores, pois neste pode-se observar a movimentação dos pólos em malha fechada a medida que uma parâmetro k varia.

Segue exemplos da utilização do método do lugar das raízes para o projeto de controladores.

O Método do lugar das Raízes:

Considerando o seguinte sistema de malha fechada.

Figura 1

A Equação em malha fechada deste sistema pode ser escrita como:

Y(s) = G(s)H(s)

R(s) 1+G(s)H(s).

Os pólos em malha fechada deste sistema podem ser encontrados resolvendo-se a seguinte equação característica:

1 + G(s) H(s) = 0

ou,

G(s) H(s) = -1

Figura 2

(a), (b): ângulos de dois pontos de teste em relação os pólos e zeros G(s) H(s).

Como G(s) H(s) é um número complexo, podemos escrever as seguintes equações:

Condição do ângulo:

/ G(s) H(s) = ± 180° (2*k+1) (k=0,1,2,...)

Condição do módulo:

ǀG(s) H(s)ǀ = 1

Em muitos casos G(s) H(s) envolve um ganho k:

1+K (S + Z₁) (S + Z₂) ... (S + Zm) = 0.

(S + P₁) (S + P₂)... (S + Pn)

Para começarmos a esboçar o lugar das raízes é necessário conhecer os pólos e zeros de G(s) H(s). Os ângulos de qualquer ponto s em relação aos pólos e zeros de G(s) H(s) devem ser medidos nos sentido anti-horário.

O lugar das raízes é um gráfico que fornece as raízes em malha fechada no plano s em função da variação de K (0 ˂ k ˂ ∞).

Por exemplo, seja o seguinte sistema:

K (S + Z₁)

(S + P₁) (S + P₂) (S + P₃) (S + P₄)

onde -P₂ e -P₃ são pólos complexos conjugados. Podemos escrever a condição de ângulo como a seguir:

∠G(s)H(s) = φ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4,

A condição do módulo é dada por:

ǀG(s) H(s) ǀ= KB₁

A₁A₂A₃A₄

onde A₁, A₂, A₃, A₄ e B₁ são módulos das grandezas complexas, s + p₁, s + p₂, s + p₃, s + p₄ e s + z₁.

Pelo fato de que os pólos complexos conjugados, serem simétricos, o lugar das raízes também é simétrico em relação ao eixo real σ.

Exemplo 1: Suponha que desejamos construir o lugar das raízes do sistema de controle em malha fechada ilustrado na figura 1. Onde:

G(s)= K ,

S(S + 1) (S + 2)

e

H (s) = 1.

Deseja-se construir o lugar das raízes para se determinar o valor K tal que o coeficiente de amortecimento ζ de um par de pólos complexos conjugados dominantes seja igual a ζ = a 0.5.

A condição do módulo pode ser escrita como:

O lugar das raízes pode agora ser construído através dos seguintes passos:

Passo 1: Determinar o lugar das raízes sobre o eixo real O primeiro passo para construção do lugar das raízes é a localização dos pólos em malha aberta, s = 0, s = -1, s = -2 no plano complexo. Note que os pontos de partida do lugar das raízes são as raízes de G(s) H(s). O número de trechos dos lugar das raízes é três o que equivale o número de pólos em malha aberta.

Vamos admitir alguns pontos de teste:

• Vamos supor que o ponto de teste se encontra na região positiva, i.e., s = σ > 0. Para qualquer ponto s = σ > 0 temos:

∠s = ∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0°.

Desta forma, a condição de ângulo para s σ > 0 não é satisfeita.

• Para S = -1 < σ < 0 temos:

∠s = 180°,

∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0°.

Desta forma:

−∠s − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = −180°.

Logo, o trecho −1 < σ < 0 pertence ao lugar das raízes.

• Para s = −2 < σ < −1 temos ∠s = 180°

∠(s + 1) = 180°

∠(s + 2) = 0°.

Desta forma:

−∠s − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) = −360°.

Logo, o trecho −2 < σ < −1 não pertence ao lugar das raízes.