Trabalho 4º Semestre Calculo III Anhanguera

Sumário

Etapa 1

Passo 1.......................................................................................................................................02

Conceito de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas

Passo 2.......................................................................................................................................03

Qual das alternativas representa a integral indefinida

Passo 3.......................................................................................................................................04

Marque as respostas correta dos desafios A, B, C, D

Passo 4.......................................................................................................................................05

Entregar ao professor um relatório com os cálculos realizados para as soluções

ETAPA 2

Passo 1 .....................................................................................................................................06

Conceito de integração por substituição e por partes

Passo 2 .....................................................................................................................................07

Considerar as igualdades

Passo 3 .....................................................................................................................................07

Marque a resposta correta do desafio proposto no passo 2

Passo 4 .....................................................................................................................................07

Entregar ao professor os cálculos feitos para as soluções dos passos

Referências Bibliograficas........................................................................................................07

ETAPA 1

Passo 1

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciênciasexatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo. Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a anderivada, descrita em qualquer tempo proposto. Mas no lugar de derivadas, Newton empregou fluxos de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de anderivadas, usou o que ele chamou de fluente. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o fluxo da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas derivadas.

As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma seqüência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0) + (8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento ”infinitesimal”.

Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas ysão diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa anderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas representa a integral indefinida de: ʃ (a³/3+3/a³+3/a)da?

ʃ (a³/3+3/a³+3/a)da = ʃ a³/3 da + ʃ 3/a³ da + ʃ 3/a da

= 1/3 ʃ a³ da + 3 ʃ a-3 da + 3 ʃ 1/a da = 1/3 a4/4 + 3a-2 /-2 +3ln [a] +c

= a4 /12 -3/2a² + 3 ln [a] +c

Alternativa B

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de R$ 10.000 e um custo marginal de C' (q)= 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0)= 10.000, a alternativa que expressa c(q), o custo total para se perfurar q pés, é: