Trabalho De Economia

RESUMOS

Estudaremos, nesta seção, problemas e situações práticas que envolvem modelos

Utilizando um Fator Multiplicativo

Vamos considerar uma pessoa que toma emprestada a quantia de $ 10.000 e cujo montante

da dívida seja corrigido a uma taxa de juros de 5% que incide mês a mês sobre o montante do

mês anterior. Podemos determinar tal montante utilizando um fator multiplicativo:

• Após l mês, representando o montante por M (1), temos:

M (í) = Valor inicial + 5% do Valor inicial

M (1) = 10.000 + 5% de 10.000

M (1) = 10.000 + •10.000

M (1) = 10.000 + 0,05 • 10.000

M(l) =10.000 (1 + 0,05)

M (l) = 10.000-1,05

M(l) =10.500

Para o cálculo dos montantes mês a mês, utilizamos o fator multiplicativo. Incidindo no

montante do mês anterior, porém podemos simplificar. Ainda mais tais cálculos e obter

o montante de qualquer mês sem recorrer ao mês anterior. Na verdade, é possível obter

o montante em um mês qualquer a partir do valor inicial e do fator multiplicativo se

considerarmos os seguintes raciocínios: Primeiramente, lembramos que o montante de cada

mês é calculado multiplicando-se o valor anterior pelo fator 1,05

M (1) = 10.000-1,05 => M (1) = 10.500

M (2) =10.500-1,05 ou M (2) = Aí (1)-1,05 => AÍ (2) = 11.025

M (3) =11.025 -1,05 ou M (3) = M (2) -1,05 =*> M (3) = 11.576,25.

Em M(2) = Al(l) • 1, 05, vamos substituir M(l) = 10.000 • 1,05

Em M(3) = M(2) • 1, 05, vamos substituir M(2) = 10.000 • 1,05 • l, 05

M (2) = 10.000 • 1,05 • 1,05

M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05.

M(l) = 10.000 • 1,05

M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05

M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05

M(l) = 10.000 • 1,05 M(l) = 10.000 • 1,05!

M(2) = 10.000 • 1,05 • 1,05 M(2) = 10.000 • 1, 052

M(3) = 10.000 • 1,05 • 1,05 • 1,05 M(3) = 10.000 • 1, 053

e com tal raciocínio podemos escrever o montante após 4 meses como

ou, ainda, generalizar o montante após x meses como

Temos assim o montante M da dívida como função do tempo x, e é interessante notar que o

valor inicial do empréstimo pode ser obtido considerando

M(0) = 10.000 • 1, 050

M(0) = 10.000 • l

M(0) = 10.000

Montante e Função Exponencial

Similar ao exemplo discutido anteriormente é a situação em que é feita uma aplicação de $

20.000 a juros de 12% ao ano, interessando-nos determinar o montante da aplicação ao longo

do tempo e considerando que a taxa de juros incida sempre no montante do período anterior.

De modo análogo ao exemplo anterior, vamos determinar o fator multiplicativo:

• Após l ano, representando o montante por M (1), temos:

M (1) = Valor inicial + 12% do Valor inicial

M (1) = 20.000 + 12% de 20.000

M (1) = 20.000 + • 20.000

M (1) = 20.000 + 0,12 • 20.000

M(1) = 20.000 (1 + 0,12)

M(1) = 20.000 • 1,12

M(1) = 22.400

Notamos assim que, para aumentar em 12% a quantia inicial, basta multiplicá-la por 1, 12,

sendo esse fator multiplicativo usado para os aumentos sucessivos a cada ano.

Definição: uma função exponencial é dada por

y = f(x) = b • ax

• o coeficiente b representa o valor da função quando x = 0 e dá o ponto em que a curva corta

y = f (0) = b • a0 y = b

Em situações práticas, é comum chamar o valor b de valor inicial. Esse coeficiente pode

assumir valores positivos ou negativos, entretanto consideraremos em nossos estudos apenas

• Se temos a base a > l, a função é crescente; se temos a base 0 <a <l, a função decrescente,

Como já foi observando, a base a determina o crescimento ou decrescimento da função

Se a > l, a função é crescente e seu crescimento é diferenciado para diferentes valores de a > l

e, quanto maior o valor de a, maior o crescimento de y a cada aumento de x, fazendo com que

a função alcance valores "grandes" mais "rapidamente".

Se 0 < a < l, a função é decrescente e seu decrescimento é diferenciado para diferentes