A aplicação da álgebra linear à engenharia civil
Exam: A aplicação da álgebra linear à engenharia civil. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: 55123 • 19/10/2014 • Exam • 908 Palavras (4 Páginas) • 604 Visualizações
Uma Aplica¸c˜ao de Algebra ´ Linear `a Engenharia Civil:
Projeto de Estrutura Met´alica
Prof. Ricardo Takahashi – DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met´alica como esbo¸cada na Figura 1. Trata-se de um
guindaste que dever´a i¸car cargas. O problema consiste em determinar qual ´e o esfor¸co mecˆanico em cada
viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resistˆencia adequada.
PSfrag replacements
F1 F2
1 2
3 4
5 6
Figura 1: Diagrama de estrutura met´alica composta de vigas.
O c´alculo das for¸cas que incidem na estrutura, F1 e F2, ´e imediato, conhecendo-se a massa que ir´a ser
suspensa e o comprimento do bra¸co do guindaste. Com essas for¸cas, ´e preciso agora calcular a for¸ca exercida
por cada viga nos n´os (pontos de interse¸c˜ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane¸ca em
equil´ıbrio. Essas for¸cas ser˜ao denotadas pelas vari´aveis fij , em que os ´ındices indicam os n´os ligados por esta
viga. Assim, por exemplo, a for¸ca f41 significa a for¸ca exercida sobre o n´o 4 pela viga que liga o n´o 4 ao n´o
1.
A somat´oria das for¸cas em cada n´o, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire¸c˜ao horizontal quanto na dire¸c˜ao
vertical. Para montar o conjunto de equa¸c˜oes, tomemos como exemplo o n´o 1. O n´o 1 ´e afetado pelas vigas
que o ligam aos n´os 2, 3 e 4. As equa¸c˜oes que implicam no equil´ıbrio de for¸cas sobre o n´o 1 s˜ao:
f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1
f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0
(1)
1sendo que θij representa o angulo ˆ entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa¸c˜ao da somat´oria das
for¸cas em cada um dos n´os, obt´em-se o seguinte conjunto de equa¸c˜oes:
f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1
f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0
f21 cos θ21 + f23 cos θ23 + f24 cos θ24 = F2
f21 sin θ21 + f23 sin θ23 + f24 sin θ24 = F2
f31 cos θ31 + f35 cos θ35 + f32 cos θ32 + f36 cos θ36 = 0
f31 sin θ31 + f35 sin θ35 + f32 sin θ32 + f36 sin θ36 = 0
f41 cos θ41 + f45 cos θ45 + f42 cos θ42 + f46 cos θ46 = 0
f41 sin θ41 + f45 sin θ45 + f42 sin θ42 + f46 sin θ46 = 0
f35 sin θ35 + f46 sin θ46 + f54 sin θ54 + f63 sin θ63 = 0,
(2)
A ultima ´ equa¸c˜ao diz respeito ao equil´ıbrio de toda a estrutura, que n˜ao deve ter em conjunto nenhuma
acelera¸c˜ao horizontal.
Claramente, fij = −fji
. Assim, por exemplo, f12 = −f21. O conjunto de vari´aveis a serem determinadas,
portanto, pode ser arranjado no vetor:
f =
f12
f13
f14
f23
f24
f35
f36
f45
f46
.
Definindo um vetor F e uma matriz Ω da seguinte forma:
F =
F1
0
F2
0
0
0
0
0
0
...