Matemática Aplicada - Estudo Do Ponto

2 ESTUDO DO PONTO

Conforme define Netto (1994, p. 154), a palavra geometria significa ‘medida da Terra’. Olhando ao nosso redor, podemos observar várias formas diferentes. A geometria é o ramo da matemática que estuda as figuras geométricas a partir dos conceitos intuitivos de ponto, reta e plano.

2.1 PONTO

A idéia de ponto dada por Netto, afirma que se furarmos um papel com um alfinete, a marca no papel nos dará a idéia de um ponto.

Mas a definição de ponto de acordo com Netto (1994, p. 154): “Um ponto não tem dimensão. Indica-se o ponto com letras maiúsculas do nosso alfabeto (A,B,C...).”

Representa-se o ponto conforme abaixo:

● B

● A ●C

2.2 PLANO CARTESIANO

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes, que conforme Santos (1998, p. 481) “Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.”

Desta forma, Santos descreve:

Quando os eixos desse sistema são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da Geometria (ponto, reta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações, etc), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. (SANTOS, 1998, p. 481)

Todo par ordenado (x, y) representa um ponto P do plano cartesiano. Assim os pares (3,3), (-3,3), (-3,-3), (3,-3) representam, respectivamente, os pontos A., B, C e D.

Fonte: Guizzo

Conforme encontra-se no livro de Guizzo (1992, p. 7): “No plano cartesiano, o eixo x recebe o nome de eixo das abscissas e o eixo y, de eixo das ordenadas.”

Considerando o ponto P(x, y), temos que:

• x é a abscissa do ponto P e representa a sua projeção sobre o eixo x;

• y é a ordenada do ponto P e representa a sua projeção sobre o eixo y.

Então o par (x,y) representa as coordenadas do ponto P.

Conforme define Iezzi (1977, p. 3-G): “Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares chamadas quadrantes, que recebem os nomes indicados na figura.”

Fonte: Iezzi

1- Exercício proposto: Localize no plano Cartesiano os seguintes pontos: A(2,0), B(0,-3), C(2,5), D(-3,4), E(-7,-3), F(4, -5), G(5/2, 9/2), H(5/2,-9/2)

Fonte: Iezzi

2.3 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre dois pontos pode ser encontrada através de uma fórmula matemática conforme demonstra Guizzo (1992, p. 8): “Dados os pontos A(xa, , ya ) e B(xb , yb ), a distância d entre os pontos A e B corresponde à medida do segmento AB.”

Prolongando as projeções de A e B, obtemos o triangulo retângulo ABC. Aplicando a esse triângulo o teorema de Pitágoras, temos:

(AB)² = (AC)² + (BC)²

Mas:

(AB) = d

(AC) = xb – xa

(BC) = yb - ya

Então: d² = (xb – xa)² + (yb – ya )²

Como d é uma distância, ela não pode ser negativa. Assim:

d =√(xb – xa)² + (yb – ya )²

2 Exercício Proposto: Calcular a distância entre os pontos A(-2, 3) e B(0, -4).

Temos:

A(-2, 3) xa = -2 e ya = 3

B(0, -4) xb = 0 e yb = -4

Então:

2.4 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

O ponto médio de um seguimento conforme demonstra Smole (2003, p. 33):

Dados dois pontos P(Xp, Yp) e Q (Xq, Yq), vamos obter as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

Fonte: Smole (2003)

Seja M(Xm, Ym) o ponto médio de PQ.

Suponhamos que PQ não seja paralelo ao eixo x nem ao eixo y. como M é o ponto médio, então PM = MQ e, pelo teorema de Tales, a abscissa Xm está a igual distância de XP e Xq, ou seja, Xm é a média aritmética de Xp e Xq. O mesmo raciocínio pode ser aplicado a Ym. Assim:

Fonte: Smole (2003)

3 Exercício Proposto: Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB cujas extremidades são A(-4, 8) e B(7, -1).

Fonte: Smole (2003)

2.5 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS