Resolução De Problemas Do Ensino médio

Resolu¸c˜ao de Exercicios do Ensino M´edio

Rob´erio de Oliveira Santos

27 de abril de 2014

1 Equa¸c˜oes Logar´ıtmicas

Observa¸c˜ao 1 Equa¸c˜oes redut´ıveis a uma igualdade entre entre dois logaritmos

de mesma base

loga f(x) = loga g(x) A solu¸c˜ao pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x)

e g(x) > 0.

Exemplo 1 Vamos resolver a equa¸c˜ao log2(2x − 5) = log2 3.

Solu¸c˜ao:

2x − 5 = 3

2x − 5 = 3 ) 2x = 8 ) x = 4.

J´a temos que g(x) = 3 > 0 cumpre a condi¸c˜ao dada. Logo, S = {4}.

Exemplo 2 Vamos resolver a equa¸c˜ao log3(3 − x) = log3(3x + 7).

Solu¸c˜ao:

3 − x = 3x + 7

3 − x = 3x + 7 ) 4x = −4 ) x = −1

Substituindo x por −1 na condi¸c˜ao g(x) = (3x + 7) > 0, vem 3.(−1) + 7 =

−3 + 7 > 0, o que ´e verdadeira. Ent˜ao: S = {−1}.

1

Observa¸c˜ao 2 Equa¸c˜oes redut´ıveis a uma igualdade entre entre um logaritmo

e um n´umero real.

loga f(x) = r

A solu¸c˜ao pode ser obtida impondo-se f(x) = ar.

Exemplo 3 Vamos resolver a equa¸c˜ao log5(2x − 3) = 2.

Solu¸c˜ao: Temos:

log5(2x − 3) = 2 ) 2x − 3 = 52 ) 2x = 28 ) x = 14.

Ent˜ao, S = {14}.

Resolva, em R, as seguintes equa¸c˜oes.

a)log2(x − 3) + log2(x + 3) = 4

Solu¸c˜ao: Como as bases s˜ao iguais, basta aplicar as propriedades de

logar´ıtmicos.

log2(x−3)+log2(x+3) = 4 ) log2 = ((x−3)(x+3)) = 4 ) log2(x2−9) = 4 ) x2−9 = 24

Resolvendo a equa¸c˜ao, encontramos S = {5}.

(U.F. Ouro Preto -MG). Sabendo-se que log5

p

x − 1+log5

p

x + 1 =

1

2 log5 3, determine o valor de logx 8, supondo x > 1.

Solu¸c˜ao: Temos: log5

p

x − 1+log5

p

x + 1 = log5((

p

x − 1)(

p

x + 1)) =

log5 3

1

2 )

p

x − 1

p

x + 1 = 3

1

2 Elevando ambos os membros ao quadrado,

obtemos:

(x − 1)(x + 1) = 3 ) x2 − 1 = 3.

Logo, S = 2.

2 Conjuntos Num´ericos

(Unifor-CE). Considere os conjuntos A = {x 2 N ; x e primo x < 20} e

B = {x.y ; x 2 A, y 2 A e x 6= 0}. O n´umero de elementos de B ´e

a) 14

2

b) 28

c) 36

d) 56

e) 72

(UF-MG). Todas as alternativas sobre n´umeros inteiros est˜ao corretas, exceto.

a) Nem todo primo ´e ´ımpar

b) Todo inteiro par pode ser escrito na forma n2 + 2, n 2 Z

c) A soma de dois inteiros ´ımpares ´e sempre um inteiro par.

d) Todo inteiro ´ımpar pode ser escrito na forma 2n − 9, n 2 Z

e) Se n ´e um inteiro ´ımpar ent˜ao n2 ´e ´ımpar.

(UFF-RJ). Trˆes n´umeros naturais e m´ultiplos consecutivos de 5 s˜ao tais

que o triplo do menor ´e igual ao dobro do maior. Dentre esses n´umeros, o

maior ´e:

a) m´ultiplo de 3

b) ´ımpar

c) quadrado perfeito

d) divisor de 500

e) div´ısil por 4

(UCDB-MT). Assinale a senten¸ca verdadeira.

a) Z

T

Z+ = 0

b) 0, 323323323323... 2 Q

c) Z

+  N

d) −

p

12 62 R

3

e) Z − N = Z

(Unifor-CE).Dados os n´umeros racionais x = 0, 02.10−50, y = 0, 2.10−51

e z = 200.10−52, ´e correto afirmar que:

a) x = z < y

b) x = z > y

c) x = y = z

d) x = y > z

e) x = y < z

3 S´erie Geometrica Convergente

Resolva, em R a equa¸c˜ao (1 + x) + (1 + x)2 + (1 + x)3 + ... = 9

Solu¸c˜ao: Sabemos que em uma s´erie