Sociologia

 Introdução

Valor mais provável de uma série de medidas

Quando se quer determinar o valor de uma grandeza ou variável contínua,

x, é feita uma série de N medidas dessa grandeza e obtida uma série de valores

de x: x1, x2, x3, ..., xN, a qual chamamos de amostragem. Como determinar o valor

que mais provavelmente representa o valor verdadeiro de x uma vez que

obtivemos N valores diferentes para a mesma grandeza?

Baseando-se em certo número de hipóteses que governam a

aleatoriedade dos resultados das medidas é possível mostrar que o valor mais

provável dessa série de medidas é a média aritmética das medidas feitas – se

todas as medidas têm o mesmo peso –, a qual chama de média amostral:

1

1 N

i

i

x x

N 

 

(1)

Onde x é uma estimativa da média da população da variável x. Geralmente,

representada por , que é o verdadeiro valor para uma grandeza. Podemos

demonstrar que x tende para  quando o número de valores xi medidos tende a

infinito.

lim

N

x 



 (2)

Variância de uma medida

Tendo sido determinado o valor mais provável para a grandeza em estudo, é

interessante conhecer como os valores individuais da medida x estão distribuídos

ou dispersos ao redor da média. Um índice de dispersão conhecido é a variância

amostral 2

x S , definida como:

   

 

2 2 2

2

1 1

 

 

 

 i  i  i

x

x x N x x

S

N N N

(3)

A variância da amostra, 2

x S , se relaciona com a variância da população,

2  , através da expressão:

2 2 lim x x

N

S 



 (4)

Desvio Padrão Amostral e Desvio Padrão da Média

Uma vez que 2

x S tem como unidades o quadrado das unidades da

grandeza medida, geralmente usamos como índice de precisão do método de

medida, o “desvio padrão amostral”, definido como a raiz quadrada da

variância:

Físico-Química Experimental – Guia de Laboratório

17

17

2

x x S  S (5)

Na realidade x S representa o grau de reprodutibilidade das medidas do

método ou aparelho utilizado, por exemplo, sua precisão. Uma vez que

adotamos x para representar o valor mais provável de , é importante saber qual

a precisão ou erro de x. Podemos mostrar que o valor que melhor representa o

“erro da média amostral” em uma amostra de N observações é o “desvio padrão

da média amostral”, cujo valor é dado por:

x

x

S

S

N

 (6)

Dessa forma é comum representarmos o resultado do experimento através

da notação: ( )x x  S unidades da grandeza medida.

Estimativas do desvio padrão quando o número de observações é muito pequeno

Frequentemente uma medida experimental é feita pelo menos duas vezes.

Nesse caso, o desvio padrão não pode ser determinado conforme descrito

anteriormente. Uma alternativa comumente utilizada é de se estimar o desvio

padrão como sendo metade da menor divisão da escala do aparelho de

medida. Por exemplo, para uma proveta graduada de 2 em 2 mL, assumiríamos

um erro com precisão de 1 mL.

Assim, um volume de 10 mL medido nesta proveta seria convenientemente

anotado como: (10  1) mL. Eventualmente, quando a medida envolve a

observação visual de marcas de escala muito próximas entre si é mais prudente

estimar a precisão, como sendo igual à menor divisão da escala.

Algarismos significativos e propagação de erros

Toda medida experimental tem uma precisão determinada que depende do

aparelho e das condições de medida. Por exemplo, se medirmos o comprimento de

uma