Algoritmo FFT

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA – IESB ENGENHARIA ELÉTRICA

Cadeira de Processamento de Sinais I

Professor Thiago Raposo Milhomem de Carvalho

Transformada Rápida de Fourrier

Marcelo Teixeira Barbosa – 1222081055

Novembro/2014

Série de Fourier para funções Periódicas

● A Série de Fourier é uma representação

de uma função periódica como uma soma

de funções periódicas:

Transformada de Fourier

● Quando uma função f(t):→R não é periódica é impossível escrevê-la como combinação linear de uma família de senos e

cossenos harmonicamente relacionados.

● No entanto, muitas vezes é possível escrevê-la como combinação linear de todos os senos e cossenos que existem, utilizando todas as frequências ω ∈ R disponíveis:

Para funções que satisfazem o critério

entre outras, pode-se provar que os valores de F(ω) que satisfazem a equação acima são dados por

Transformada Inversa de Fourier

● Se F(ω) e f(t) estão relacionadas pelas equações de análise e síntese

Denotamos essa relação por f(t) □(↔┴ ) F(ω) indicando que F é a Transformada de Fourier de f, e f é a Transformada Inversa de Fourier de F.

A transformada rápida de fourrier (FFT).

A transformação rápida de Fourier FFT é um algoritmo que reduz os passos de tempo de cálculo n n 2 • log 2 (n). O único requisito é que o número de pontos na série tem de ser uma potência de 2 (2 pontos n), para o exemplo 32, 1024, 4096, etc.

Suponhamos que temos um sinal descrito por um conjunto de n (potência de dois) pares de dados (t j, x j) igualmente espaçados no tempo por um intervalo Δ t desde t = 0 até t = final (n -1 ) Δ t. Por outro lado Δ intervalo t, é chamado de frequência de amostragem f s. Vector de modo a que o tempo é t = (0: n-1) / f s

A função fft no MATLAB torna-se um vector de valores de x em relação sinal tempo t um vector de g como uma função da frequência ω.

g = FFT (x)

g é um vetor cujos elementos são números complexos, que armazena informações sobre a amplitude e fase. Agora precisamos associar cada elemento do vector g com uma frequência da mesma maneira que nós associamos cada elemento do vetor x com o tempo.

A faixa de frequência é Δ ω = 2π / (n • Δ t) = 2π f s / n, de modo que a frequência mínima é de 0 e a máxima ω max = 2πf s (n-1) / n. Δ ω resolução espectral é inversamente proporcional ao total n • recolha de dados em tempo t Δ séries temporais.

Conhecido o intervalo de tempo t ou amostra Δ taxa de t = 1 / f s e o número de pares de dados (n poder de 2), o vector criado tempos t e frequências angulares ω vector como se segue:

>> N = comprimento (x);

>> T = (0: n-1) * dt;

>> Dw = 2 * pi / (n * dt);

>> W = (0: n-1) * dw;

Podemos ignorar a fase e concentrar-se na medida, se calcularmos e representam a praça dos elementos do vetor g. A P é chamado de espectro de potência (espectro de energia)

Para ilustrar a aplicação da função FFT MATLAB, analisamos o sinal formado pela soma de quatro frequências harmônicas angulares ω = 1, 3, 3,5, 4 e 6 rad / s

x (t) = cos (t) + 0,5 • cos (3) t + 0,4 • cos (t 3,5) + 0,7 • cos (4) t + 0,2 • cos (6 t)

a transformada de Fourier de f (t) = cos (0 ω t) é F (ω) = π [δ (ω-ω 0) + δ (ω + ω 0)]. Duas funções delta de Dirac localizados em + ω -ω 0 e 0.

O script fft para realiza as seguintes tarefas:

A construção de uma série de tempo (x, t), constituído por n = 2 14 = 16.384 pares de dados, tendo um intervalo de tempo Δ t = 0,4 s, ou uma frequência de amostragem f s = 2,5 Hz. O tempo final é t end = 16383 • 0,4 = 6.553,2 s

Calcula a transformada de Fourier rápida fft e armazená-lo no vector g

Criar o conjunto de ω frequência como na tabela acima

Nós calculamos a potência de saída: o quadrado do valor absoluto de cada elemento g.

Representação

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