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Derivadas

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Aplicações das Derivadas nas Áreas Econômicas e Administrativas

Objetivo

O significado econômico da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal. Outra aplicação das derivadas envolve o conceito de elasticidade associada ao preço e à demanda de um produto e sua relação com a receita, bem como a elasticidade associada à renda e à demanda.

Funções Marginais

Analisaremos a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar. Em todas as análises, será necessário ter a clareza do significado econômico da palavra marginal. O significado da palavra marginal pode ser estendido a outras funções, sendo natural pensar em produção marginal e produção média marginal que discutiremos no custo marginal, custo médio marginal etc.

• O Custo Marginal de uma produção

O Custo Marginal corresponde ao acréscimo dos custos totais de produção, quando se aumenta a quantidade produzida em uma unidade. É o custo de se produzir mais uma unidade.

Numa situação normal, o custo marginal começa por decrescer à medida que se aumenta a quantidade produzida, situação que se justifica pelo fato de existirem custos fixos que se diluem em quantidades maiores (é o chamado efeito de escala).

Para se analisar é necessário: a função da produção em relação ao custo C(q) e a sua derivada C’ (q)=;que chamamos Custo Marginal.

• Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais

Para cada nível de produção temos um custo marginal, o que motiva a determinação da função Custo Marginal. Assim, em análises Econômicas e administrativas, definimos a função

Custo Marginal, simbolizada por Cmg, como a derivada da função Custo:

Cmg = Função Custo Marginal = C'(q)

Em diversas análises, economistas e administradores têm o interesse em lidar com o custo marginal, pois é interessante saber como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem variações nas quantidades produzidas ou, em outras palavras, além de conhecer os custos envolvidos em um nível de produção, também é importante saber a que taxa tal custo está variando nesse nível de produção.

• A Receita Marginal