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Séries harmônicas em música

Na musica série harmônica é o conjunto de ondas formado pela frequência fundamental e todos os múltiplos inteiros desta frequência. Uma corda de um instrumento em vibração produz ao mesmo tempo diferentes frequências sonoras.

A corda vibra não só em sua extensão total, mas também em divisões menores, uma parte igual, duas partes iguais, três partes iguais, e assim por diante. Como podemos ver, a corda vibra simultaneamente na frequência fundamental e em suas frequências múltiplas inteiras, que são os harmônicos.

O intervalo 2/1 é notado como o que chamamos de oitava, que é a mesma nota com a frequência dobrada, o próximo intervalo é 3/2 que é chamado de quinta. Os seguintes são de quarta 4/3, de terça maior 5/4 e 6/5 terça menor. O intervalo de quinta é o mais consonante de todos, portanto, foi usado para construção da maioria das escalas usadas hoje em dia.

Abaixo temos uma imagem que mostra as 16 primeiras notas da serie iniciada com a nota DO.

Séries harmônicas em matemática

O estudo das serie infinita recebe o nome de séries harmônicas na matemática devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda em vibração: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

O conceito de série infinita surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequencia de infinitos termos. O problema é que nem sempre é possível obter o valor resultante da soma de uma série, e também que algumas séries possuem soma infinita.

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida da seguinte forma:

Esta série é divergente. A demonstração é feita levando-se em consideração que a série:

É termo a termo maior que ou igual à série

Series harmônicas em Física

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada

Soma dos Termos infinitos de uma PG

Uma progressão geométrica é uma sequencia em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao segundo multiplicado por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra Q.

Já a serie geométrica é a serie que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma PG:

A série será convergente se o módulo de r for menor que um. Então neste caso valerá:

No entanto se o módulo de r for maior ou igual a 1, a série não será convergente, ou seja, ela será divergente.

Relação entre a constante de Euler série harmônica e PG

A constante de Euler é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

Um exemplo das relações entre series e a constante de Euler:

Na matemática, a função exponencial y=ex é sua própria derivada, pois a taxa de variação de ex no ponto x=t vale et. Por isso é usado como base do logaritmo natural. Pela regra da multiplicação por constante, as funções y=kex, também são suas próprias derivadas.

Falando de integral, pode-se definir e como sendo o único número maior que zero tal que:

ln⁡〖e= 〗 ∫_l^e▒〖dt/t=〗 1

O número e é um número irracional e mesmo transcendente, assim como π. Outra aparição do número de Euler é na probabilidade, onde caso se escolha números entre zero e 1, até que seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of Population”,

apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado ambiente,

em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos em certa

População no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes naquele

ambiente eram proporcionais