Atps Matematica Aplicada

RESUMO:

O presente trabalho de Atividade Prática Supervisionada foi elaborado com a principal finalidade de ampliar e pesquisar em fontes formais e de credibilidade científica o conteúdo da disciplina de Matemática Aplicada, abrangendo desde a evolução As habilidades requeridas pelo mercado, Constituem-se basicamente do conhecimento de Controle e execução dos trabalhos relacionados com a área Contábil, tais como: registro de documentos, escrituração de livros fiscais, classificação de despesas, análise e reconciliação de contas e cálculos denominados na área de matemática com exemplos práticos do dia á dia. Atividades relacionadas dentro das organizações, que visam orientar, demonstrar, e adquirir resultados para controle e movimentações de ações, que envolvem valores.

ABSTRACT:

This work Supervised Practical Activity was prepared with the main purpose to expand and search for formal sources of credibility and scientific content of the discipline of Applied Mathematics, ranging from the development skills required by the market, They are basically knowledge of Control and execution of work related to the Accounting area, such as registration documents, bookkeeping tax books, expenditure classification, analysis and reconciliation of accounts and calculations denominated in the area of mathematics with practical examples of the day will be the day. Related activities within organizations, which aim to guide, demonstrate and acquire results for control and drives actions involving values.

SUMARIO

1. MATEMATICA E CONCEITOS 1

2. FUNÇÃO 1

3. FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 2

4. FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAL 3

4.1 Principais pontos de uma função de Segundo Grau 3

5. RELACIONANDO EXERCICIOS AS FUNÇÕES 4

6. RAIZES DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 7

7. PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 8

8. FUNÇÃO EXPOENCIAL 9

8.1 Exemplos de uma função exponencial 9

9. FUNÇÃO POLINOMINAL 10

9.1 Exemplos de função polinominal 10

10. FUNÇÃO RACIONAL 11

11. FUNÇÃO INVERSA 12

11.1 Exemplos de função inversa 12

12. CONCEITO DE DERIVADA 13

12.1 Técnicas de derivação 13

12.2 Regras de derivação 13

13. VARIAÇÃO MÉDIA 14

14. ELASTICIDADE 14

14.1 Elasticidades preço da demanda 15

14.2 Elásticos 15

14.3 Inelásticos 16

14.4 Elasticamente unitários 16

14.5 Elasticidade e bens substitutos 16

14.6 Elasticidades de uma demanda linear 16

14.7 Elasticidades preço da oferta

7

15. CONCLUSÃO 18

16. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 19

INTRODUÇÃO:

Apresentar as situações gerais do dia a dia de uma organização do tipo área contábil, utilizando os meios práticos, de matemática aplicada e a analise dos resultados com formulários e relatórios que justifiquem resultado encontrado; A obra de John Napier significou um enorme avanço para a matemática e a astronomia pela formulação do conceito de logaritmo como um artifício capaz de facilitar os cálculos, na área aplicada, exemplos práticos partem e inspiram a partir dos conselhos e exemplos relacionados Á J. Napier. Em nosso dia a dia precisamos descobrir valores de determinados números desconhecidos, e nos deparamos com diversas situações, Valores que podem estar associados a temperaturas, distancia quantidade, Etc. para isso apresentaremos formulas dentro da matemática aplicada que ajuda a associar estas situações;

Palavra Chave: Matemática Aplicada, Administração financeira.

1. MATEMATICA E CONCEITOS.

John Napier, também dito Neper, nascido no castelo de Merchiston, perto de Edinburgo, Escócia, em 1550. Ingressou-se aos 13 anos na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e também aritmética. Sua única obra de teologia, escrita em 1594, ocupa lugar de destaque na história eclesiástica escocesa. Também se dedicou à invenção de artefatos secretos de guerra, inclusive uma peça de artilharia de longo alcance, que Ficou apenas no papel.

Napier se destacou mais em matemática; Inventou vários artifícios para o ensino da aritmética, estudou a história da notação arábica e manifestou grande interesse pelos princípios que fundamentam a notação dos números. Deve-se a ele uma das primeiras tentativas de desenvolvimento da base dois para a contagem. Destacou-se ainda na geometria, ao criar novos métodos para a trigonometria esférica.

A sua mais notável realização foi à descoberta dos logaritmos, artifício que simplificou cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise. Publicou Mirifici logarithmorum canonis descriptio; Descrição das normas dos logaritmos maravilhosos.

Jobst Burgi (1552-1632), relojoeiro suíço dedicava-se a matemática e astronomia, publicou um trabalho em 1620 onde apresentou uma tábua de logaritmos e antilogaritmos (terminologia atual).

2. FUNÇÃO.

Determinando que uma função F é um conjunto A que associa a cada elemento X de um único elemento y de B. O elemento y é chamado de imagem de X por F, e denota-se por y=f(x), ou mais simplificadamente, Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,...}. Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro;

podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma: f(x,y) = x + y

Será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação: há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (X), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w. A correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

Um exemplo de função é a do salário de vendedores que ganham por comissões: Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

A tabela mostra que podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor: e com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde se verifica que:

O salário depende das vendas;

O salário é uma função das vendas;

3. FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU.

Uma função é dita do primeiro grau quando pode ser expressa na forma: A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da

função for o conjunto R, tem-se uma reta. O valor da constante a, na função y = ax + b e que tem domínio igual a R, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação: Para o caso específico da constante b ser igual à zero, a função y = ax é chamada função linear.

4. FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual à zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida. Exemplo descrito grafia da função;

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima

Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

Δ > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

Δ = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função

do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

Δ < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

4.1 Principais pontos de uma função de 2º Grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe: Para encontrarmos o valor do vértice é necessário utilizar as seguintes fórmulas: Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo. Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo. Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

5. RELACIONANDO EXERCICIOS AS FUNÇÕES (EXEMPLOS)

Há alguns anos instalados no mercado, a “Reforço Escolar” precisou contratar mais dois professores de Línguas Portuguesa e Espanhola e um de Matemática. Aproveitando o bom momento, a Diretora Pedagógica da escola convenceu o proprietário que não bastava expandir o número de alunos atendidos, mas também era necessário adequar o quadro de professores (tanto os antigos quanto os

novos contratados) às novas exigências do campo educacional fornecendo aos alunos e pais de alunos que procuravam a Instituição não somente o “reforço escolar” propriamente, mas um acompanhamento cotidiano que permitisse a todos os componentes da comunidade escolar a entrada e a permanência no mundo dos saberes científicos, desde a discussão de pontos de vista até a manipulação de ferramentas de última geração como computadores e demais mídias educacionais. Plenamente convencido do nicho de mercado que conquistaria, o dono da escola procurou o gerente do Banco ABC SA onde mantém a conta corrente da Escola e apresentou levantamento sobre o custo das despesas para implantação do programa de reorganização da “Reforço Escolar”. A Planilha de gastos apresentada pelo Diretor foi a seguinte: Custo para capacitação de 20 professores da escola (oferecido pelo Centro Universitário da localidade): R$ 40.000,00, no ato de contratação dos serviços.

Custo para aquisição de 30 novos computadores (multimídia) + pacote de softwares educativos: R$ 54.000,00, no ato de entrega dos computadores. O Gerente do Banco ABC SA atualizou o lucro bruto no cadastro da escola, com base em documentos onde constam os seguintes dados: A escola funciona em três períodos: manhã, tarde e noite; oferecendo reforço escolar somente pela manhã, somente à tarde, somente à noite ou aos finais de semana.

O número de alunos

matriculados para este ano é pela manhã: 180, à tarde: 200, à noite: 140. Aos finais de semana: 60. São oferecidas aulas de Português, Língua Espanhola, Língua Inglesa, Matemática, Física, Química, Biologia e Informática. Os custos para pais e alunos são: pela manhã e à tarde: R$ 200,00 por aluno. À noite, R$ 150,00 por aluno. O intensivo de final de semana, R$ 130,00 por aluno.

Atividade 1 - Escreva a função Receita para cada turno de aulas (manhã, tarde, noite e final de semana). Depois, calcule o valor médio das mensalidades e escreva outra função Receita para o valor obtido como média. Os professores têm uma carga horária semanal de trabalho de 2 horas-aula para cada grupo de 20 alunos e o salário bruto para tanto é de R$ 50,00 por hora/aula menos 20% de descontos (FGTS, INSS e outros descontos lícitos). Despesas Operacionais, incluindo impostos e tarifas, giram em torno de R$ 49.800,00 (incluindo custo dos trabalhadores administrativos igualmente importantes para o bom funcionamento da estrutura escolar).

R= P*Q ONDE, P=PREÇO DA MENSALIDADE, Q= QUANTIDADE DE ALUNOS.

MANHÃ | TARDE | NOITE | FINAL DE SEMANA |

R=200*180 R= 200*200 R= 150*140 R= 130*60

R= 36.000,00 R= 40.000,00 R= 21.000,00 R= 7.800,00

M(MED)= MM+MT+MN+MF4 = M(MED)= M(MED)= 200+200+150+1304 =

M(MED)= 6804 = 170, ENTÃO M(MED)= R$ 170,00.

Atividade 2 -

Escreva a função Custo da escola que dependerá de escrever a função Salário dos professores. Utilize variáveis diferentes para representar o número de alunos e o número de grupos de 20 alunos que poderão ser formados.

TOTAL DE ALUNOS: S=580 ALUNOS TOTAL DE GRUPO DE 20 ALUNOS

G=S/20=580/20=29 GRUPOS CARGA HORARIA SEMANAL PELOS 29 GRUPOS

CH=2*G=58HORAS-AULAS SALARIO BRUTO SB=50,00*CH=50,00*58=2 900,00 R$

SALARIO DE LIQUIDO SL=SB-20%SB=2900-0,2*2900=2 320,00 R$ CUSTO

TOTAL CT=SL+49 800

Atividade 3 – Obtenha a função lucro e o valor informado pelo gerente no cadastro da escola. O financiamento de computadores e periféricos para fins educacionais, inclusive para unidades escolares, dentro do Banco ABC tem tarifa diferenciada de 1,0% ao mês e o prazo que pode variar de 2 até 24 parcelas. Sendo que a data do primeiro pagamento acontece trinta dias depois de assinado o contrato de financiamento.

RE: FUNÇÃO LUCRO: 104.800,00 – 62.270,00: 42.530,00

Atividade 4 – Obtenha a função que determina o valor das prestações do financiamento do custo dos computadores e elabore tabela e gráfico para: 2, 5, 10, 20 e 24 prestações. A verba necessária para o treinamento dos professores poderá ser obtida por meio da utilização da modalidade “Capital de Giro”, a uma taxa especial de 0,5% ao mês (já que deve atender a necessidade de capital da empresa), com vencimento em um ano da data da assinatura do

contrato.

JUROS AO MÊS: 1,0%

USANDO A FÓRMULA R= P*I (1+I)N ONDE: [(1+I)N -1]

R: VALOR DAS PRESTAÇÕES

P: VALOR DO EMPRÉSTIMO

I: TAXA DE JUROS E

N: NUMERO DE PRESTAÇÕES LOGO TEREMOS PARA 2 PARCELAS UM VALOR DE PRESTAÇÃO DE:

R= 54000*0,01 (1+0,01)2 [(1+0,01)2 -1] R= 540*(1,01)2 [(1,01)2 -1]

R= 540*1,0201 1,0201-1 R= 550,85 0,0201 R: 27.405,47

OU SEJA: 2X27.405,47: 54.810,94

AGORA PARA 5 PARCELAS TEREMOS:

R= 54000*0,01 (1+0,01)5 [(1+0,01)5 -1] R= 540*(1,01)5 [(1,01)5 -1]

R= 540*1,05101 1,05101-1 R= 567,54 0,05101 R: 11.126,05

OU SEJA: 5 X 11.126,05: 55.630,25

JÁ PARA 10 PARCELAS TEREMOS:

R= 54000*0,01 (1+0,01)10 [(1+0,01)10 -1] R= 540*(1,01)10 [(1,01)10 -1]

R= 540*1,10462 1,10462-1 R= 596,49 0,10462 R: 5.701,49

OU SEJA: 10X5.701,49: 57.014,90

PARA 20 PARCELAS TEREMOS:

R= 54000*0,01 (1+0,01)20 [(1+0,01)20 -1 R= 540*(1,01)20 [(1,01)20 -1]

R= 540*1,22019 1,22019-1 R= 658,90 0,22019 R: 2.992,41

OU SEJA: 20X2.992,41: 59.848,31

E POR FIM PARA 24 PARCELAS TEREMOS:

R= 54000*0,01 (1+0,01)24 [(1+0,01)24 -1 R= 540*(1,01)24 [(1,01)24 -1]

R= 540*1,26973 1,26973-1 R= 685,65 0,26973 R: 2.541,97

OU SEJA: 24X2.541,97: 61.007,60

Atividade 5 – Obtenha a função que determina o valor total para pagamento do capital de giro. A proposta é válida por uma semana. O Dono da Escola comunica ao Gerente do Banco ABC que vai consultar seu Contador e que retornará no dia

seguinte para confirmar, ou não, as operações junto à Instituição. Cabe a você acadêmico, julgar matematicamente as possibilidades que o Diretor da Escola possui e aconselhá-lo à melhor escolha.

JUROS AO MÊS: 0,5% E JUROS AO ANO: 6%

{(40000.0,5)/100}+40000: 40200,00

{(40000.6)/100}+40000: 42400,00

OBS: POR MÊS A EMPRESA “REFORÇO ESCOLAR” TERÁ QUE PAGAR 200,00 DE JUROS OU 2400,00 POR ANO.

6. RAÍZES DA FUNÇÃO DE 2º GRAU

Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.

1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.

2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.

3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais. Soma e produto das raízes Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que: Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes por . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:

Soma das raízes Produto das raízes Efetuando a multiplicação, temos:

Substituindo Δ por b² – 4ac, temos: Após a simplificação, temos:

7. PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DO

2º GRAU

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações na Matemática e auxiliam a Física em diversas situações nos movimentos de corpos na área da Cinemática e Dinâmica. A sua lei de formação, onde f(x) = ax² + bx + c, descreve uma trajetória parabólica de concavidade voltada para cima (decrescente – ponto mínimo) ou concavidade voltada para baixo (crescente – ponto máximo). Observe a resolução de situações problemas a seguir:

EXEMPLOS 1.

O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento.

A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a: Resolução: na expressão y = –40x² + 200x os coeficientes são a = –40, b = 200 e c = 0. Utilizaremos a expressão Yv para obter a altura máxima atingida pelo objeto: O objeto atingiu a altura máxima de 250 metros. Utilizaremos a expressão Xv para obter o tempo de subida do objeto: O projétil levou 2,5s para atingir altura máxima, levando mais 2,5s para retornar ao solo, pois no movimento vertical o tempo de subida é igual ao tempo de descida. Portanto, o projétil permaneceu por 5 s no ar. 2.Um objeto foi lançado do topo de um edifício de 84 m de altura, com velocidade inicial de 32 m/s. Quanto tempo ele levou para chegar ao chão? Utilize a expressão matemática

do 2º grau d = 5t² + 32t, que representa o movimento de queda livre do corpo.

8. FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda função definida nos reais, que possui uma lei de formação com características iguais a f(x) = ax, com a número real a > 0 e a ≠ 1, é denominada função exponencial. Esse tipo de função serve para representar situações em que ocorrem grandes variações, é importante ressaltar que a incógnita se apresenta no expoente. As funções exponenciais se classificam em crescentes e decrescentes, de acordo com o valordo termo indicado por a. Função exponencial crescente – (a > 1) Uma função exponencial é crescente quando o termo numérico representado por a for maior que um. Observe os domínios, as respectivas imagens e o gráfico da função f(x) = 3x: Função exponencial decrescente – (0 < a < 1) As funções exponenciais decrescentes possuem o valor de a entre 0 e 1. Nas exponenciais podemos observar características comuns aos dois tipos de funções:

8.1 Exemplos de uma função exponencial;

Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:

N(t) = 1200*20,4t

Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?

N(t) = 1200*20,4t

N(t) = 19200

1200*20,4t = 19200

20,4t = 19200/1200

20,4t = 16

20,4t = 24

0,4t = 4

t = 4/0,4

t = 10 h

A cultura terá 19200 bactérias após 10 h.

9. FUNÇÃO POLINOMIAL

Toda

função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem.

O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja:

g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.

f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.

h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.

Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y), usado nas representações gráficas no plano cartesiano.

9.1 Exemplos de função polinominal:

Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares ordenados quando:

x = 0

p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1

p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1

p(0) = 0 + 0 – 0 + 1

p(0) = 1

par ordenado (0,1)

x = 1

p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1

p(1) = 2 + 2 – 5 + 1

p(1) = 0

par ordenado (1,0)

10. FUNÇÃO RACIONAL

Em matemática, uma função racional é uma razão de polinômios. Para uma simples variável x, uma típica função racional é, portanto onde P e Q são polinômios tendo x como indeterminado, e Q não pode ser o polinômio zero. Qualquer polinômio não-zero Q é aceitável; mas a possibilidade que um dado a assinalado para o x poderia fazer Q(a) = 0 significa

que a função racional, diferente dos polinômios, não possuem sempre uma função domínio de definição óbvia. De fato se nós temos esta função é definida para qualquer número real x; mas não para números complexos, onde o denominador assume o valor 0 para x = i e x = −i, onde i é . Do ponto de vista matemático, um polinômio é primeiramente uma expressão formal, e somente depois uma função (em um dado domínio). A despeito do nome, o mesmo é igualmente verdadeiro para funções racionais. Na álgebra abstrata, uma definição de uma função racional é dada como elemento do campo de frações de um anel polinomial. Por esta definição se sucede que, nós devemos começar com um domínio integral R (por exemplo, um campo). R [X, Y, T]

Então o anel de polinômios em algumas incógnitas X, T, será também um domínio integral; e nós.

Podemos propriamente tomar um campo fracionário (em uma maior generalização para anéis comutativos a construção será uma localização de um anel polinomial).

Funções acionais são usadas em análise numérica para funções de interpolação e aproximação, por exemplo, a aproximação de Padé introduzido por Henri Padé. Aproximações em termos de funções racionais são bem aceitas por sistemas computacionais de álgebra e outros softwares numéricos. Como polinômios, elas podem ser avaliadas diretamente, e ao mesmo tempo elas são ligeiramente mais expressivas do que os polinômios.

Exemplos:

f(x) = 2x + 2

x – 1

f(x) = x + 2 .

3x3 – 3x – 2

11. FUNÇÃO INVERSA

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.

A função é bijetora, quando cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que a função, por ser bijetora, admite inversa.

11.1 Exemplos de função Inversa

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5

–3y = –x –5 (multiplicar por –1)

3y = x + 5

y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²

√x = √y²

√x = y

y = √x

A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x

12. CONCEITO DE DERIVADA

No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação de uma função. Diz-se que uma função f é derivável (ou diferençável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da

função f no ponto a e representa-se por ou por.

13.1 Exemplo de Conceito de Derivada

Se c ∈ R, a função f de R em R definida por f(x) = c é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R: Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = 0, então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se ; além disso, f'(a) = φa(a) = 0.

12.1 Técnicas De Derivação

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de

y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x).

12.2 Regras De Derivação

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

13. VARIAÇÃO MÉDIA

A variação média é definida em intervalos grandes e a imediata é definida em pequenos acréscimos chamados de diferenciais. O melhor exemplo disso é a velocidade média e instantânea. Se um carro percorre 100 metros em

10 segundos a velocidade média dele (taxa de variação média) é 10 m/s, mas isso não garante que em todos os segundos se olhássemos para o registrador de velocidade ele marcaria 10m/s. A velocidade média por ser definida em um intervalo grande não garante a precisão da medida em um exato momento. Por isso existe a velocidade instantânea, que diz exatamente qual é a velocidade do carro em qualquer um dos instantes do trajeto.

14. ELASTICIDADE

Através das Leis da Oferta e da Procura é possível apontar a direção de uma resposta em relação à mudança de preços – demanda cai quando o preço sobe, oferta aumenta quando o preço sobe etc.. – mais não informa o quanto mais os consumidores demandarão ou os produtores oferecerão.

O conceito de elasticidade é usado para medir a reação das pessoas frente a mudanças em variáveis econômicas. Por exemplo, para alguns bens os consumidores reagem bastante quando o preço sobe ou desce e para outros a demanda fica quase inalterada quando o preço sobe ou desce. No primeiro caso se diz que a demanda é elástica e no segundo que ela é inelástica. Do mesmo modo os produtores também têm suas reações e a oferta pode ser elástica ou inelástica.

14.1 A Elasticidade-Preço Da Demanda

A elasticidade-preço da demanda (Ed) mede a reação dos consumidores às mudanças no preço. Essa reação é calculada pela razão entre dois percentuais. A variação percentual na

quantidade demandada dividida pela mudança percentual no preço. Ou seja,

Ed = variação percentual na quantidade demandada

mudança percentual no preço Por exemplo: Digamos que o preço do leite muda de R$ 2,00 para R$ 2,20. Qual a elasticidade-preço da demanda por leite se a quantidade demandada de leite é de 85 mi de litros por ano quando o preço é R$ 2,20 e é de 100 mi de litros por ano quando o preço é R$ 2,00. Então: A mudança absoluta na quantidade foi de 15 mi de litros (100 – 85) para baixo. Em termos percentuais isso equivale a 15% pois, a quantidade era de 100 mi litros a R$ 2,00 que era o preço inicial. Quando o preço aumentou para R$ 2,20 houve uma queda na quantidade demandada de 15% [100(85 – 100)%/100].

A mudança absoluta no preço foi de R$ 0,20 (2,20 – 2,00) para cima. Em termos percentuais isso equivale a 10% pois, o preço inicial era R$ 2,00 e aumentou para R$ 2,20 houve um aumento de 10% [100(2,20 – 2,00)%/2,00]

O percentual pode ser calculado por uma regra de três simples:

Se a quantidade era 100 e caiu para 85 a uma queda de 15. Então a regra é se 100 equivale a 100% a quanto equivalerá 15? O que resulta em 100x = 100*15  x = 1500/100  x=15%

Da mesma forma o preço: O preço aumentou de 2,00 para 2,20. O aumentou foi de 0,20. Se 2,00 era 100% do preço quanto seria 0,20? O que resulta em 2x = 100*0,20  x = 20/2  x=10% A elasticidade desta mudança é de Ed =

15%/10% = 1,5.

14.2 Elásticos.

Se a elasticidade-preço do bem for maior que 1,00 diz-se que a demanda por esse bem é elástica. A variação percentual na quantidade excede a variação percentual no preço. Ou seja, os consumidores são bastante sensíveis a variações no preço.

14.3 Inelásticos.

Se a elasticidade-preço do bem for menor que 1,00 diz-se que a demanda por esse bem é inelástica. A variação percentual na quantidade é menor que a variação percentual no preço. Ou seja, os consumidores são relativamente insensíveis a variações no preço.

14.4 Elasticamente Unitários.

Se a elasticidade-preço do bem for igual a 1,00 diz-se que a demanda por esse bem é de elasticidade neutra. A variação percentual na quantidade é igual à variação percentual no preço.

14.5 Elasticidade e bens substitutos

A elasticidade-preço da demanda para um bem em particular é influenciada pela disponibilidade ou não de bens substitutos. Quanto mais bens substitutos estiverem disponíveis mais elástica é a demanda, se não há bens substitutos a demanda é inelástica.

14.6 A Elasticidade De Uma Demanda Linear

A elasticidade muda a cada ponto. Ela aumenta a medida que os pontos vão se movendo para a esquerda. Em cada local as mudanças absolutas no preço são de 4 unidades (80-76=4; 50-46=4; 20-16 =4) os percentuais de mudança nos preços são de: do ponto r para o s queda de 4 unidades ou 5% (4*100/80); do ponto t

para o u queda de 4 unidades ou 8% (4*100/50); do ponto v para o w queda de 4 unidades ou 20% (4*100/20). Essas são as mudanças nos preços. As quantidades variam da seguinte maneira: do ponto r para o s aumento de 2 unidades ou 20% (2*100/10); do ponto t para o u aumento de 2 unidades ou 8% (2*100/25); do ponto v para o w aumento de 2 unidades ou 5% (2*100/40). As elasticidades em cada mudança são de: Ed = 4,0 (de r para s); Ed = 1,0 (de t para u); Ed = 0,25 (de v para w). Teoricamente a elasticidade de uma reta vai de zero ao infinito.

14.7 A Elasticidade-Preço Da Oferta.

A elasticidade-preço da oferta mede a reação dos vendedores às mudanças no preço. Essa reação também é calculada pela razão entre dois percentuais. A variação percentual na quantidade ofertada dividida pela mudança percentual no preço. Ou seja,

Ed = variação percentual na quantidade demandada mudança percentual no preço

Dos determinantes o tempo tem grande importância, pois a elasticidade de curto-prazo será em geral diferente da de longo-prazo. Assim, ao longo do tempo, quando as firmas têm possibilidade de reagir mais intensamente às variações de preço, a curva de oferta irá se tornando cada vez mais elástica.

15. CONCLUSÃO

Podemos concluir que o estudo da matemática surgiu pela necessidade do homem de contar e registrar números enquanto que a matemática aplicada para suprir necessidades mais

especifica do dia-a-dia.

Este trabalho pode ser visto, então, como um incentivo para uma série de estudos futuros envolvendo tópicos mais avançados de matemática financeira, uma vez que foram apresentados apenas alguns de seus conceitos introdutórios. Assim, a continuação da intervalização dos conceitos financeiros é proposta como trabalho futuro, bem como a intervalização de métodos estatísticos utilizados atualmente no auxílio da qualificação de resultados empresariais. Estabelece os objetivos da matemática financeira e explicita alguns de seus principais conceitos. Finaliza com as conclusões sobre o trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

16. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Livro Estatístico Aplicado À Administração e Economia - Col. Schaum - 4ª Ed. 2007 acesso em 20 de abril de 2013.

Artigos sobre matemática aplicada disponível em: www.administradores.com.br/artigos/.../matematica-aplicada acesso em 01 de abril de 2013.

Formulas e artigos sobre administração e cálculos matemáticos disponíveis em; www.ebah.com.br/.../a-importancia-matematica-na-administracao acesso em 01 de abril de 2013.

Apostila de conceitos, aplicáveis sobre matemática aplicada Volume 1-edição 2004 disponível em: Apostila de Matemática Aplicada Volume 1 – Edição 2004 Unisal acesso em 04 de abril de 2013

Apostila de Matemática Aplicada Volume 1 – Edição 2004.

Prof. Dr. Paginas 34 á 124 Acessom em 01 abril de 2013 a 14 abril de 2013

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Livro Matemática para Administração Autor(es): Hamilton Luiz Guidorizzi Editora: LtcAno: 2002 Gênero: Ciências Exatas Acabamento do Livro: Brochura acesso em 12 de abril de 2013

Livro Matemática Aplicada A Administração e Economia - 9788522105465 Editora: Thomson Matemática Aplicada a Administração e Economia Autor: Tan, S. T. Editora: Thomson Heinle assunto: Ciências Exatas-matematica ISBN: 8522105464 ISBN-13: 2ª Edição - 2007 acesso 02 de abril de2013 a 18 de abril de 2013.

Livro Estatística Aplicada À Administração e Economia - Col. Schaum - 4ª Ed. 2007 acesso em 20 de abril de 2013.

Escritório de contabilidade Visão Chupinguaia-Ro Luiz Roncleano Batista Contador Acesso em 13 de abril de 2013.

Claudemir vieira da silva Advogado empresa Comercial Fortaleza Rondonópolis MS acesso em 20 de abril de 2013.

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http://www.geocities.com/wallstreet/Exchange/1726/project/projetos_cap2.htm.

Acesso em 20 de abril de 2013.

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