Binômio de Newton: desenvolvendo a expressão (a + b)n

Binômio de Newton: desenvolvendo a expressão (a + b)n

Atribuímos o desenvolvimento da expressão (a + b)n ao grande físico e matemático Isaac Newton, no intuito de calcular os polinômios decorrentes da expressão, quando n > 3.

Newton elaborou a fórmula do termo geral que pode ser aplicada para tais situações, pois ela possui uma lei de formação de fácil compreensão e desenvolvimento.

Termo geral:

Importante: Na expressão do termo geral, temos que o expoente de a será a diferença entre o numerador e o denominador do coeficiente binomial e o expoente de b será o denominador do coeficiente binomial.

Desenvolvimento da expressão (a + b)n

Exemplo 1: determine o polinômio correspondente ao desenvolvimento da expressão

(2x + 3)4.

(2x + 3)4 = (2x)4 * 1 + (2x)³ * 3 + (2x)² * 9 + (2x)¹*27 + (2x)0 * 81

(2x + 3)4 = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Também podemos resolver pelo método da distribuição. Observe:

(2x + 3)4 = (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) * (2x + 3) = 16x4 + 24x³ + 36x² + 54x + 81

Porém, para situações nas quais o expoente indicado apresenta valores mais elevados, é aconselhado utilizar o binômio de Newton no desenvolvimento da expressão.

Para desenvolvermos uma expressão do tipo (2x – 3)4 , devemos alternar os sinais, iniciando com o sinal de positivo. A expressão (2x – 3)4 ficaria da seguinte forma:

(2x + 3)4 = 16x4 - 24x³ + 36x² - 54x + 81

Exemplo 2: determine o desenvolvimento da expressão (x – 2y)5.

(x – 2y)5 = x5*1 + x4*(–2y) + x³*(4y) + x² * (–8y) + x*(16y) + 1*(–32y)

(x – 2y)5 = x5 – 2x4y + 4x³y – 8x²y + 16xy – 32y