Calculo Diferencial E Integral

PROVA PARCIAL – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

ENGENHARIA – Prof. Ms. Ailton Antonio CAMPUS: AFN11

COMENTÁRIO

QUESTÕES OBJETIVAS (2,0 pontos)

1 ) A integral de , onde D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,2) é dada pela integral iterada:

A) B) C)

D) E)

Resolução:

A região de integração está representada na figura a seguir:

ALTERNTIVA CORRETA: C

2) Usando a propriedade de que se f(x,y) é não negativa e integrável em uma região D do plano xy e que é o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y) e inferiormente pela região D, a integral dupla, em coordenadas polares que calcula o volume do sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide z = 1 – x2 – y2 , mostrado na figura abaixo, é dada por

A) B) C)

D) E)

Resolução:

A projeção do parabolóide no plano xy é o círculo de centro (0,0) e raio 1;

z = 1 – x2 – y2 tem equação em coordenadas polares 1 – r2

Portanto o volume é dado pela integral = =

ALTERNATIVA CORRETA: A

3) O volume do tetraedro de vértices 0 (0,0,0), A (1,0,0), B (0,3,0) e C (0,0,3).é dado pela integral:

A) B) C)

D) E)

Resolução:

A variação de x e a variação de y é dada pela região D do plano limitada pelo triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,3). (figura abaixo)

Portanto o volume ´do tetraedro é dado pela integral

ALTERNATIVA CORRETA: E

4) , onde T é a região delimitada pelo plano xy, pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = a2, como mostra figura a seguir é, em coordenadas cilíndricas dada pela integral:

A) B) C)

D) E)

Resolução:

Observando a figura anterior, vemos que a região T é limitada inferiormente por z = 0 e superiormente pelo parabolóide

z = x2 + y2 que em coordenadas cilíndricas tem equação z = r2

Temos então:

ALTERNATIVA CORRETA: D