Desvio padrão

Desvio padrão

Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística (representado pelo símbolo sigma, σ). Ele mostra o quanto de variação ou "dispersão" existe em relação à média (ou valor esperado). Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar próximos da média; um desvio padrão alto indica que os dados estão espalhados por uma gama de valores.

O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não-negativo;

2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Desvio padrão de uma variável aleatória[editar | editar código-fonte]

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculado como: Para cada valor calcula-se a diferença entre e o valor médio . Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, . Esta quantidade é a variância . Tome a raiz quadrática deste resultado. O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

onde é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em umadistribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral[editar | editar código-fonte]

Se uma variável aleatória toma os valores então o desvio padrão para esta amostra de números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de através de:

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

A divisão por aparece quando exigimos que a variância amostral seja um estimador não tendencioso da variância populacional

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

onde é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio