EQUAÇÕES DIFERENCIAS (APLICACIONES E SIMULAÇÃO / PESSOAL LINEAR)

CURSO DE GRADUAÇÃO

ENGENHARIA ELÉTRICA

TURMA A - 4º SEMESTRE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

ATPS – 1º BIMESTRE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (APLICAÇÕES E MODELAGEM / LINEARES DE ORDEM SUPERIOR)

SOROCABA

SETEMBRO/2013

Sumário.

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01

1- Origem das Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02

2- Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03

3- Aplicações das Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04

4 – Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06

5 – Circuitos Elétricos de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Introdução.

Neste trabalho discutiremos sobre as Equações Diferenciais bem como as aplicações e sua modelagem também discutiremos sobre as Equações Lineares de ordem superior. Quando nos referimos a modelagem em especifico, setrata de um estudo ligado diretamente a circuitos elétricos que são encontrados em qualquer tipo de dispositivo elétrico como por exemplo: Filtros RC e Fontes DC. Vamos ver também sua aplicação em problemas ligados á área de engenharia.

Com uso de pesquisa na biblioteca e internet, foi possível desenvolver o trabalho e transpor as aplicações dessas equações nos circuitos elétricos que vemos em nosso dia-a-dia.

O objetivo principal é apresentar o estudo das Equações Diferenciais dentro da engenharia.

No Cálculo Diferencial e Integral, as Equações diferenciais se apresentam como objeto privilegiado para o estudo de circuitos elétricos,

quanto a sua interpretação e avaliação, e suas noções de novas ferramentas e aplicações nos dias de hoje.

1 - Origem das Equações

As equações diferenciais começaram com o estudo do cálculo por Isaac Newton e Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânica forneceram a base para a aplicação das equações diferenciais no século XVIII especialmente por Euler.

Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries infinitas.

Leinbniz foi um autodidata em matemática.Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy / dx = P(y) / Q(x). Em 1691, verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações lineares de primeira ordem.

Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o primeiro a palavra “integral” no sentido moderno, estudou e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos avanços, mas não uma teoria geral.

O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O maior matemáticodo século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de

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primeira ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes, tal como

Depois de Euler vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, energia, sistemas dinâmicos, astronomia etc. Porém o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas planetárias e da gravitação. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido.

As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantespara a matemática pura e aplicada.

2 - Equações Diferenciais

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações

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Diferenciais