Procedimentos Metodológicos

Procedimentos metodológicos da pesquisa

Questões sobre o desenvolvimento do Cálculo e da Análise Matemática

José Luiz Magalhães de Freitas

1. O problema dos infinitésimos foi de fundamental importância para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral e da Análise Matemática. Sua origem está relacionada com os paradoxos de Zenão, matemático grego dissidente dos pitagóricos. Dentre eles, o mais conhecido é o de “Aquiles e a tartaruga”, que mostra a impossibilidade de explicar o movimento. Na competição entre Aquiles e a tartaruga, Zenão mostra que, apesar de Aquiles ser mais veloz, qualquer vantagem que se der à tartaruga, Aquiles não poderá mais alcançá-la. Por exemplo, supondo que a velocidade de Aquiles seja dez vezes a da tartaruga e que ela comece com uma vantagem de 100 m. Nesse caso, quando ele percorrer 100 m, ela, embora lenta, terá percorrido 10 m e portanto estará na frente, quando ele tiver percorrido 110 m, ela, embora lenta, terá caminhado mais um metro além dele e ainda está na frente, quando Aquiles percorrer mais um metro ela terá percorrido mais 10 cm, continuando à frente, e assim sucessivamente. O raciocínio utilizado mostra que Aquiles nunca ultrapassará a tartaruga. Enuncie outros paradoxos de Zenão. Por que os matemáticos gregos não conseguiram dar resposta a esse tipo de paradoxo?

Em que época do desenvolvimento histórico da Matemática esse problema foi resolvido, quais os novos conceitos utilizados e quais os principais personagens envolvidos?

Como o paradoxo de “Aquiles e a tartaruga” poderia ser explicado hoje com o que conhecemos de Matemática?

2. Em que consistiu o método da exaustão criado por Eudoxo e também utilizado por Arquimedes?

3. No livro Introdução à História da Matemática, HOWARD EVES (p. 426) afirma que: Os princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas e volumes e, ademais, sua base intuitiva pode facilmente tornar-se rigorosa com o cálculo integral moderno. Explique o que ele quis dizer com essa frase e apresente um exemplo ilustrativo.

4. Quais as principais descobertas para o desenvolvimento do cálculo que ocorreram no século XVII e quais os principais personagens envolvidos?

5. Quais as principais semelhanças e diferenças entre os trabalhos de Newton e de Leibnitz?

6. Aponte causas que dificultaram o desenvolvimento do cálculo na Inglaterra após Newton.

7. Descreva a época e o contexto em que ocorreu o aparecimento do rigor no cálculo e a aritmetização da análise. Apresente uma breve descrição dos principais personagens envolvidos, bem como algumas definições e alguns teoremas importantes que foram demonstrados nessa época.