Relações Constitutivas Das Equações De Maxwell

INTRODUÇÃO

As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.

As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo "microscópico" das equações de Maxwell utiliza os conceitos de carga total e corrente total, que inclui as cargas e correntes a níveis atômicos, que comumente são difícieis de se calcular. O grupo "macroscópico" das equações de Maxwell definem os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de ter que se conhecerem tais cargas e correntes em dimensões atômicas.

As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James Clerk Maxwell, já que podem ser encontradas, sob outras notações matemáticas, em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862. A forma matemática da lei da força de Lorentz também está presente neste artigo.

Torna-se útil, geralmente, escrever as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas representações matemáticas, ainda que possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem basicamente os mesmos fenômenos físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell". Uma formulação em termos de tensores covariantes de campo é usada na relatividade restrita, por exemplo. Dentro da mecânica quântica, é preferida uma versão baseada em potenciais elétrico e magnético.

HISTÓRIA

As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a Lei de Ampère corrigida, uma equação de três componentes; a Lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a ausência de monopolo magnético; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial, descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma equação.

A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação mais simples, utilizando-se de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em 1873, utilizando notações com base em quaterniões, que acabou se tornando impopular. A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.

Como um dos resultados derivados das equações de Maxwell, surge a velocidade das ondas eletromagnéticas, dada por v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}. Como consequência, interpretações de físicos logo em seguida sugeriam que as equações de Maxwell expressariam o eletromagnetismo apenas no referencial inercial do éter luminífero. Naquela época, para os físicos, o éter luminífero seria o meio pelo qual a luz oscilaria como onda, assim como uma onda mecânica tendo como meio uma corda, e serviria como refencial absoluto para todo o Universo. O experimento conduzido por Albert Abraham Michelson e Edward Morley produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentz, entre outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.

As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de interpretações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades. Na relatividade restrita, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo antissimétrico de segunda ordem, que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto.

DESCRIÇÃO CONCEITUAL

Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem como fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem como um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo, e vice-versa.

Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo, descrevem como os campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas respectivas fontes: o campo magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell; campos elétricos "circulam" em torno da campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.

EQUAÇÕES DE MAXWELL E RELAÇÕES CONSTITUTIVAS

FORMA DIFERENCIAL NO DOMÍNIO DO TEMPO

• Equações de maxwell:

• Relações contitutivas

NOTAÇÃO FASORIAL PARA GRANDEZAS SINUSOIDAIS

(o mesmo para H)

Equações de Maxwell:

Relações Constitutivas:

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