Transformada De Fourrier

Transformadas de fourrier FFT e DFT

Existem duas maneiras de representar uma mesma função ou sinal, ou seja, uma representação no domínio do tempo ou do espaço e outra no domínio da frequência. A representação de um sinal no domínio do tempo está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Contudo, certas operações, principalmente na engenharia, tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, domínio este, conseguido através das Transformadas de Fourier.

No século XVIII, Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francês - 1768 a 1830) mostrou que uma função “qualquer” pode ser escrita através da soma de senos e cosenos com diferentes amplitudes, frequências e fases[1,2].

O integral de Fourier, ou simplesmente Transformada de Fourier (FT), que permite passar de um sinal temporal contínuo f(t) (periódico ou aperiódico) a um sinal no domínio da frequência F(w) é definido por:

Em geral a F() designa-se por espectro de f(t), mesmo se essa designação deva ser reservada para |F()|, que é também chamada densidade espectral em amplitude.

A respectiva transformada inversa é definida por:

Permitindo deste modo determinar a função temporal f(t) a partir do seu espectro F().

A FT pode facilmente estender-se para uma função de duas variáveis f(x,y). Se f(x,y) é contínua e integrável então, temos o par de transformadas:

FT e inversa para duas dimensões (2-D)

A FT de um sinal discreto no tempo é uma função contínua e periódica. Porém é um grande problema quando implementado em processadores digitais devido ao facto de a transformada inversa ser definida apenas num período. O facto de utilizar-se um número infinito de amostras no domínio do tempo e obter-se uma função de variável contínua (só possível de representar por um número infinito de pontos) no domínio da frequência é um problema grande quando se pretende implementar a FT em processadores digitais. Perante isso utiliza-se a DFT.

Transformada Discreta de Fourier

Quando trabalhamos com imagens digitais, deve-se adaptar o cálculo da Transformada Discreta de Fourier (DFT) para lidar com uma função discreta, ou amostrada. A DFT vem colmatar o problema da FT utilizando um número finito de pontos no domínio do tempo através de uma representação discreta do sinal no domínio da frequência. Se uma função contínua é discretizada por amostragem de N pontos com intervalo e N pontos com intervalo teremos a DFT para uma e duas dimensões, e as suas inversas na forma:

DFT e inversa para uma dimensão (1-D)

Propriedades da Transformada Discreta de Fourier

Separabilidade

A DFT é separável em x e y, ou em u e v.

Permitindo deste modo que o cálculo seja dividido em duas etapas, simplificando o processo. Primeiro calcula-se a DFT de cada linha da imagem e forma-se uma “imagem” intermédia com estes resultados. Em seguida calcula-se a DFT de cada coluna desta “imagem” para se obter o resultado final.

Linearidade

A DFT é um operador linear, pois a transformada de Fourier da adição de duas funções é também a adição no domínio de Fourier:

Periodicidade

A DFT e a sua inversa são periódicas com período N.

Isto quer dizer, que para o efeito de cálculo da DFT, a imagem é considerada periódica.