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Vetor (matemática)

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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de vetor, veja Vetor.

Representação gráfica de um vector.

Em geometria analítica, um vetor (português brasileiro) ou vector (português europeu) é uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados, que possuem todos a mesma intensidade (denominada norma ou módulo), mesma direção e mesmo sentido1 . Em alguns casos, a expressão vetor espacial também é utilizada.[carece de fontes]

Neste contexto, um vetor \mathbf{a} pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que seja membro da classe deste vetor (ou seja: pode ser representado por qualquer segmento de reta orientado que possua mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe). E se o segmento \overline{AB} (segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B) for um representante do vetor \mathbf{a}, então podemos dizer que o vetor \mathbf{a} é igual ao vetor \overrightarrow{AB}.

De maneira mais formal, um vetor é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de reta orientados de \mathbb{V}^n2 , em que \mathbb{V}^n representa um espaço vetorial de n dimensões. Assim sendo, em um espaço vetorial de 3 dimensões (\mathbb{V}^3), cada vetor será dotado de três coordenadas, comumente denominadas x, y e z.

Quando falamos em distância geométrica "de A para B", podemos imaginar que o ponto A está sendo "carregado" até chegar ao ponto Bnota 1

Muitas operações algébricas nos números reais possuem formas análogas para vetores. Vetores podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número e invertidos. Essas operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: comutatividade, associatividade e distributividade. A soma de dois vetores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada geometricamente usando a regra do paralelogramo. A multiplicação por um número positivo (comumente chamado escalar), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vetor, isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1 preserva a magnitude mas inverte o sentido. As coordenadas cartesianas fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vetores.

Os vetores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um objeto e as forças que agem sobre ele são descritas por vetores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de um vetor físico dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objetos usados para descrever quantidades físicas são os pseudo-vetores e tensores.

Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento, tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo, sendo os elementos a partir dos quais se constrói o Cálculo Vetorial.

Índice [esconder]

1 Módulo ou norma do vetor -

2 Operações com vetores

2.1 Adição

2.2 Subtração

2.3 Multiplicação por escalares

2.4 Produto escalar

2.5 Propriedades do produto escalar

2.6 Produto vetorial

2.6.1 Propriedades do produto vetorial

2.7 Ângulo entre dois vetores

2.8 Relação entre produto vetorial e ângulo entre vetores

2.8.1 Interpretação do produto vetorial

2.8.2 Ângulos diretores

2.8.3 Projeções sobre vetores

2.8.4 A desigualdade de Cauchy-Schwarz

3 Produto misto

3.1 Propriedades do produto misto

4 Vetores na Física

4.1 Vetores velocidade e aceleração

4.2 Velocidade e aceleração relativas

4.3 Produto escalar

4.4 Vetores deslizantes

4.5 Adição de forças

5 Versor -

6 Notas

7 Ver também

8 Referências

9 Ligações externas

§Módulo ou norma do vetor - ||\mathbf{a}||[editar | editar código-fonte]

Módulo do vetor é seu comprimento (na figura acima, seria a distância AB).

Fórmula de cálculo (para uma base ortonormal):

||\mathbf{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} (dedução a partir do Teorema de Pitágoras)

§Operações com vetores[editar | editar código-fonte]

Adição vetorial pela regra do paralelogramo.

§Adição[editar | editar código-fonte]

A decomposição dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.

Observemos o gráfico:

Adição de vetores

Podemos verificar que:

\vec{w}=\vec{v}+\vec{u}

e que:

w_x=v_x+u_x

assim como:

w_y=v_y+u_y.

...