Retângulo dourado e divisão de ouro

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Retângulo áureo

e divisão áurea

Geraldo Ávila

1. O retângulo áureo

Chama-se retângulo áureo qualquer retân- gulo ABCD (Figura 1) com a seguinte proprieda- de: se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.

Figura 1

Se a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original, a definição acima se tra- duz na relação

(1)

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Como veremos logo adiante, esse tipo de retângulo tem muitas proprieda- des interessantes que justificam o qualificativo “áureo”. Ele tem sido consi- derado por arquitetos e artistas como o retângulo mais bem proporcionado e de grande valor estético. A Figura 2 reproduz a foto de uma residência su- burbana de Paris, projetada pelo famoso arquiteto Le Corbusier, na qual ele utiliza o retângulo áureo. Há aí dois retângulos áureos, um deles representado pelo corpo inteiro da casa e o outro, disposto verticalmente, representado pela parte da casa à esquerda da escada.

Figura 2

O Partenon (Figura 3), ou tem- plo da deusa Atena, uma das mais admiradas obras da arquitetura universal, revela, em seu frontispício (Figura 4) um quase exato retângu- lo áureo. Todavia não há evidencia histórica de que, ao construir o tem- plo no 5o século a.C., os arquitetos de Péricles tenham conscientemente usado o retângulo áureo.

Figura 3

Figura 4

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Voltemos à relação (1). Dela decorre, por uma propriedade bem conheci- da das proporções, que:

ou seja,        .

Isto significa que se o retângulo de lados a + b e a é áureo, então também o é o retângulo de lados a e b.

Figura 5

Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc. (Fig. 5). Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação (1), formemos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., onde

a2 =a–b,a3 =b–a2 =2b–a, e,emgeralan =an–2 –an–1. Trata da seqüência

a + b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b, 5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a, ... (2)

Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos desta seqüência são os lados de um retângulo áureo. Portanto,

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o processo anterior de retirar quadrados de retângulos áureos conduz a uma seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores e tendendo a zero.

É fácil provar que os lados de um retângulo áureo são grandezas inco- mensuráveis. Se fossem comensuráveis, teriam um submúltiplo comum σ, de sorte que, com referencia à Figura 1,

AD=(a+b)σe AB=aσ

onde a e b seriam então números inteiros. Em conseqüência, todos os núme- ros da seqüência (2) seriam inteiros e positivos. Isto é um absurdo, pois não existe seqüência infinita e decrescente de números inteiros positivos. Conclu- ímos, então, que os lados de um retângulo áureo são incomensuráveis.

2. A divisão áurea

O retângulo áureo está intimamente ligado com a chamada divisão áu- rea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão, que introduzi- remos a seguir.

Diz-se que um ponto C de um segmento AB (Figura 6) divide este seg- mento em média e extrema razão se

(3)

A relação (3) é precisamente a relação (1), se pusermos AC = a e CB = b, de sorte que os segmentos AC e CB da divisão áurea (ou AB = a + b e AC = a) são os lados de um retângulo áureo.

É interessante notar que se C1 divide AB em média e extrema razão, e se marcarmos no segmento AB os pontos C2, C3, C4,... de tal maneira que AC2 = C1B, AC3 = C2C1, AC4 = C3C2, ..., (Figura 7), então Cn divide ACn–1 em média e extrema razão n = 2, 3, 4,... Este resultado segue facilmente do que já provamos antes sobre a seqüência infinita

Figura 6

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Figura 7

de retângulos áureos, donde segue também que os segmentos AC1 e C1B da divisão áurea de AB são incomensuráveis. Sugerimos que o lei- tor faça uma demonstração completa destes resultados.

Como já observamos há pouco, as relações (1) e (3) são idênticas quando pomos AC = a e CB = b. Delas segue-se que

b2 =ab=a2. (4)

O número m = b/a é conhecido como a razão áurea. Dividindo a equa-

ção anterior por a2 obtemos:

m2 +m=1. (5)

O primeiro membro torna-se um quadrado perfeito quando lhe adiciona-

mos 1/4:

ou seja,

Extraindo a raiz quadrada e notando que m > 0, teremos:

portanto, (6)

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3. Construções geométricas

Vamos construir um retângulo áureo a partir de seu menor lado AE = a (Figura 8). Para isso construímos EF = AE perpendicularmente a AE. Com centro em G, ponto médio do segmento

Figura 8

AE,traçamosoarco ,ondeDjaz na reta AE e E é interno ao segmento AD. Como GF = GD = b + a/2, o teorema de Pitágoras aplicado ao triangulo retângulo GEF nos dá:

.