A Prova de Álgebra

Disciplina  A´lgebra  Linear

Nome:             Matr´ıcula:          

Problema 1. Verdadeiro/Falso (2,0 potos)

Nos itens abaixo, determine se a afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.

1. (F) Um vetor ´e um segmento de reta orientado (seta);

Resposta  e/ou  justificativas:  Um vetor ´e determinado de acordo com o espa¸co vetorial em quest˜ao.

1. (F) Um vetor ´e uma ˆenupla de nu´meros reais;

Resposta  e/ou  justificativas:  Um vetor ´e determinado de acordo com o espa¸co vetorial em quest˜ao.

1. (V) Um vetor ´e um elemento qualquer num espa¸co vetorial;

Resposta  e/ou  justificativas:  Um vetor ´e determinado de acordo com o espa¸co vetorial em quest˜ao.

1. (F) Existe um espa¸co vetorial consistindo em exatamente dois vetores distintos;

Resposta e/ou justificativas a soma de dois elementos gera um terceiro elemento

1. (F) O conjunto de polinˆomios de grau exatamente 1 ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes usuais;

Resposta  e/ou  justificativas  o polinˆomio deve ter o temo constante nulo para ser um espa¸co vetorial

1. (V) Cada subespa¸co de um espaco vetorial ´e, ele mesmo, um espa¸co vetorial;

Resposta  e/ou  justificativas  visto que um subespa¸co ´e por si s´o um espa¸co vetorial

1. (V) Cada espa¸co vetorial ´e um subespa¸co de si mesmo.

Resposta  e/ou  justificativas  ´e um subespa¸co trivial

1. (F) Cada subconjunto de um espa¸co vetorial V  que contenha o vetor zero de V  ´e um subespa¸co de V ;

Resposta  e/ou  justificativas  s˜ao trˆes as condi¸c˜oes para que um subconjunto seja um subespa¸co vetorial

1. (F) O conjunto R2 ´e um subespa¸co de R3;

Resposta e/ou justificativas Com base no estudo realizado para o R2, podemos supor que os subespa¸cos vetoriais  de  R3  s˜ao:  o  conjunto  formado  apenas  pelo  seu  vetor  nulo  {(0, 0, 0)},  o  pr´oprio  R3,  os  conjuntos que representam retas que passam pela origem do sistema cartesiano em trˆes dimens˜oes e os conjuntos de

pontos que representam planos que passam pela origem do sistema cartesiano.

1. (F) O conjunto das soluc˜oes de um sistema linear consistente Ax = b de m equa¸c˜oes em n inc´ognitas ´e um subespaco de Rn;

Resposta e/ou justificativas em geral o vetor nulo n˜ao ´e solu¸c˜ao do sistema, logo n˜ao possuindo elemento neutro.

1. (V)  O  gerado  de  qualquer  conjunto  finito  de  vetores  em  um  espa¸co  vetorial  ´e  fechado  na  adi¸c˜ao  e  na multiplica¸c˜ao por escalar;

Resposta  e/ou  justificativas  O conjunto herda as opera¸c˜oes do espa¸co vetorial.

1. (V) A interse¸c˜ao de dois subespacos quaisquer de um espa¸co vetorial V  ´e um subespa¸co vetorial de V ;

Resposta  e/ou  justificativas  se  tivermos  dois  subespa¸cos  a  interse¸c˜ao  de  subespa¸cos  ´e  sempre  um  su- bespa¸co vetorial

1. (F) A uni˜ao de dois subespacos quaisquer de um espa¸co vetorial V  ´e um subespa¸co vetorial de V ;

Resposta  e/ou  justificativas  Tome  o  eixo-x  e  o  eixo-y  que  s˜ao  subespa¸cos  e  a  uni˜ao  deles  n˜ao  ´e  um subespa¸co.

1. (F) Dois subconjuntos de um espa¸co vetorial V  que geram o mesmo subespa¸co de V  devem ser iguais;

Resposta e/ou justificativas conjuntos de vetores diferentes podem gerar o mesmo plano por exemplo.

1. (V)  O  conjunto  de  matrizes  n × n  triangulares  superiores ´e  um  subespa¸co  do  espa¸co  vetorial  de  todas  as matrizes n × n;

Resposta  e/ou  justificativas  O fato das matizes forem do tipo n × n as opera¸c˜oes est˜ao bem definidas, as matrizes nulas, sim´etricas e s˜ao triangulares

1. (F) Os polinˆomios x − 1, (x − 1)2 e (x − 1)3 geram P3;

Resposta e/ou justificativas x − c, (x − c)2 e (x − c)3 geram P3 para todo c ∈ R

1. (F) O conjunto Q dos nu´meros racionais ´e um espa¸co vetorial real;

Resposta  e/ou  justificativas  Geralmente, produtos entre dois nu´meros ´e racional se ambos forem raci- onais  .Tome  p  /=  0  e  r  irracional;  segue  o  produto  pr  ´e  irracional.  De  fato,  se  pr  fosse  racional,  pelo  que

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