A decisão dos quadrados mágicos

1. Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coloque dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de jogo da velha de maneira que a soma dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal RESULTE 15.

Atualmente há muitas referências para a solução dos chamados quadrados mágicos (este é o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocínio intuitivo para buscar a solução deste desafio:

Nossa primeira preocupação será encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo deverá ser o mais natural possível, consistindo em organizar famílias do menor para o maior algarismo.

• Começando com a família do 1, poderíamos pensar em 2 para o próximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Então, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possível, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a família de grupos de algarismos começando com 1:

1 5 9

1 6 8

• A família do 1 só possui 2 grupos e não foi possível utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

• A próxima família será dos grupos começando com 2. e os outros dois membros deverão somar 13:

2 4 9

2 5 8

2 6 7

• Algarismos não utilizados: 1, 3.

• Família do 3:

3 4 8

3 5 7

• Algarismos não utilizados: 1, 2, 6, 9.

• Família do 4:

4 2 9

4 3 8

4 5 6

• Algarismos não utilizados: 1, 7.

• Família do 5:

5 1 9

5 2 8

5 3 7

5 4 6

• Os 9 algarismos foram utilizados!

• Família do 6:

6 1 8

6 2 7

6 4 5

• Algarismos não utilizados: 3, 9.

• Família do 7:

7 2 6

7 3 5

• Algarismos não utilizados: 1, 4. 8, 9.

• Família do 8:

8 1 6

8 2 5

8 3 4

• Algarismos não utilizados: 7, 9.

• Família do 9:

9 1 5

9 2 4

• Algarismos não utilizados: 3, 6. 7, 8

A configuração do chamado "Jogo da Velha" é conhecida como Matriz 3 × 3, isto é, um conjunto entrelaçado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 células. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 células de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mágico 3 × 3

Considerações sobre o Quadrado Mágico 3 × 3 cuja soma é igual a 15:

• A célula central pertence simultaneamente à linha central, à coluna central e às duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles é comum a todos.

• A familia do 5 é a única que reúne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posição central da matriz:

5

• Por observação, verificamos que há 4 famílias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 famílias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, há sempre um grupo contendo o algarismo 5.

• Observamos ainda que, das células vértices do quadrado, são gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as famílias de 3 grupos, isto é, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posições:

2 4

5

6 8

• Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto é, 1, 3, 7 e 9 nas células ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatória ao desafio proposto. Porém devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.

O fato de escolhermos o primeiro vértice para a posição do algarismo 2 foi de pura conveniência porque poderíamos escolher qualquer dos demais vértices para iniciar o raciocínio.

Geometricamente, a escolha dos demais vértices significa promover uma "rotação" na matriz onde o eixo de rotação seria perpendicular ao papel. Vamos então escolher o sentido anti-horário para rotações sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 soluções possíveis:

4 3 8

9 5 1

2 7 6

8 1 6

3 5 7

4 9 2

6 7 2

1 5 9

8 3 4

Tomemos a primeira solução e imaginemos um outro tipo de rotação na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rotação de 180 graus (os números permanecem como