EXERCÍCIOS - TRIGONOMETRIA - ABREVIATURAS DE 1 QUADRADO

EXERCÍCIOS – TRIGONOMETRIA – REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE

LIVRO “MATEMÁTICA ” VOL 2 – DANTE

1) Determine o quadrante onde está a extremidade do arco considerado a partir da origem dos arcos da circunferência unitária.

a) 1960º - 2º Quad b) - 1º Quad c) – 340º - 1º Quad d) - 2º Quad

Solução.

a) 1960º ÷ 360 = 5 e restam = 160º. Significa que foram dadas 5 voltas completas e o ponto está na extremidade do arco de 160º, portanto no 2º quadrante.

b) 9 ÷ 4 = 2 e resta 1. Logo Como 2 representa a volta de 360º, foram das duas voltas e a extremidade do arco está no ponto representado por ou 45º. Isto é: 1º quadrante.

c) 340º representa o movimento anti-horário e – 340º o movimento horário. Logo o ponto deslocou-se sobre a circunferência no sentido horário determinando um arco cuja extremidade está no ponto equivalente a 20º. Isto é: 1º quadrante.

d) 20 ÷ 3 = 6 e restam 2. Logo Como 6 = 3.(2), o ponto percorreu duas voltas e encontra-se na extremidade de que equivale a 120º. Logo, 2º quadrante.

2) Divida, a partir da origem A (0º), a circunferência unitária em 8 partes iguais. A seguir, determine, em rad, a medida do menor arco não negativo associado a cada ponto de divisão.

Solução. A divisão 360º ÷ 8 = 45º, indica que a circunferência estará dividida em 8 arcos de 45º que, em radianos, vale . Cada ponto de divisão está associado então a um múltiplo de .

3) Leitura: O número está associado ao ponto da circunferência que determina, a partir da origem, um arco de 60º. Dando uma volta completa, esse ponto estaria associado ao número rad que equivale a 60º + 360º = 420º. Esses arcos são chamados de arcos côngruos. Repare que podemos completar várias voltas no sentido horário (-) ou anti-horário (+). A expressão geral para a posição desse ponto é ou 60º + k.360º, com kZ.

Exemplo. Escreva a expressão geral dos arcos congruentes a 800º.

Solução. Reduzindo ao primeiro quadrante, isto é, 800º ÷ 360º = 2 voltas e 80º. A expressão geral será:  = 80º + k.360º, kZ (80º, 80º + 2.360º, 80º + (- 4).360º, etc.).

a) Escreva a expressão geral dos arcos congruentes a 240º - 240º + k.360º, kZ.

Solução. Os arcos congruentes a 240º são todos aqueles cujas extremidades coincidem com esse ponto. Logo ao percorrer 2 voltas, 3 voltas, etc. essa situação ocorrerá. Esse raciocínio contempla o sentido anti-horário ou horário. Logo o fator de multiplicidade “k” é inteiro positivo ou negativo.

b) Descubra a 1ª determinação (menor valor não-negativo) côngruo ao arco de 780º - 60º.

Solução. Os arcos congruentes a 780º são todos aqueles cujas extremidades coincidem com esse ponto. Como a volta completa na circunferência equivale a 360º, percebe-se que 780º corresponde a um arco determinado por um ponto que percorreu mais de uma volta. Calculando 780º ÷ 360º = 2 e restam 60º. Logo a extremidade do ponto determina um arco de 60º. É chamada a menor determinação por que é a menor medida expressa para esse arco.

Note, ainda, que o ponto após percorrer 2 voltas completas encontra-se no 1ª quadrante a 60º da origem, no sentido anti-horário.

4) Encontre a expressão geral das extremidades M1, M2, M3 e M4 dos arcos dados, em radianos, na circunferência da figura.

Solução. Observe inicialmente que os pontos assinalados na circunferência, não são coincidentes. Isso significa que não são côngruos. Nesse caso é preciso descobrir que fração da volta essa distância representa. Pela informação do desenho, M1 está a 60º da origem A e M2 está situado 90º após M1. Logo M2 = 60º + 90º. Analisando o ponto M3, observamos que está distante de M2 de 90º e de M1 de 180º ou M3 = M2 + 90º = M1 + 180º. Finalmente, M4 = M3 + 90º = M2 + 180º = M1 + 270º. Como estamos procurando uma expressão geral, essa pode ser em graus ou radianos. Logo, cada ponto pode ser encontrado pela expressão: 60º + k.90º, kZ ou , lembrando que equivale a 90º.

OBS: A expressão geral será em múltiplos de 360º ou 2 se os arcos forem côngruos.

5) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º.

Solução. É importante lembrar que os ponteiros do relógio estão exatamente sobre os números somente nas horas exatas. A partir desse instante o ponteiro maior começa a percorrer a circunferência numa velocidade maior que a do menor, pois esse irá de um número a outro em 60 minutos. Ou seja, o ponteiro maior percorre 360º enquanto o menor somente 30º. No caso do problema, duas regras

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