AS EQUAÇÕES ORDINÁRIAS E TRANSFORMADAS DE LAPLACE - APLICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS RLC
Por: Lucas Raphael • 8/8/2021 • Trabalho acadêmico • 2.617 Palavras (11 Páginas) • 116 Visualizações
UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA
LUCAS RAPHAEL DE JESUS DA SILVA
EQUAÇÕES ORDINÁRIAS E TRANSFORMADAS DE LAPLACE - APLICAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS RLC
Florianópolis, 2020.
Introdução
O presente trabalho tem como finalidade explanar conceitos vistos na disciplina de Cálculo II, referentes aos assuntos de Equações ordinárias diferenciais de primeira e segunda ordem, bem como transformadas de Laplace, de forma aplicada para a área de engenharia.
Inicialmente, será apresentada uma abordagem acerca das EDO’s, e algumas formas detalhadas em aula, de como desenvolvê-las, e também sobre Transformadas de Laplace, que tendem a facilitar a resolução de equações diferenciais.
Posteriormente, devido ao interesse de se obter relações práticas com o que foi estudado, será abordado sobre os circuitos do tipo RLC (Resistor - Indutor - Capacitor), tema referente à área da Engenharia elétrica, mais especificamente, no estudo de circuitos elétricos, relacionados à corrente alternada.
EDO’s
De acordo com Sodré (2003), uma equação diferencial ordinária pode ser classificada como uma equação que tem x como uma variável independente, e 𝑦 = 𝑦(𝑥) como uma variável dependente, envolvendo suas derivadas 𝑦', 𝑦'', … 𝑦(n). Uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser escrita da seguinte forma:
𝑑𝑦
𝑑2𝑦
𝑑n𝑦
𝑎0(𝑡)𝑦 + 𝑎1(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑎2(𝑡) 𝑑𝑡2 + ⋯ + 𝑎n 𝑑𝑡n = 𝑓(𝑡)[pic 1][pic 2][pic 3]
As EDO’s podem ser classificadas quanto às suas ordens, que depende exclusivamente da derivada de maior valor apresentada numa dada equação.
Uma EDO, por exemplo do tipo 𝑎𝑦' + 𝑏𝑦 = 0, denota-se de primeira ordem. Já uma EDO 𝑎𝑦'' + 𝑏𝑦' + 𝑐𝑦 = 0, é denominada de segunda ordem.
Há diversos tipos de EDO’s, entre eles podemos citar, as do tipo variáveis separáveis, homogêneas, lineares de primeira ordem, do tipo exatas, quase exatas e não exatas, Equação de Bernoulli, equação linear de segunda ordem, entre outros.
Transformadas de Laplace
As transformadas de Laplace são comumente usadas para resolver problemas de aplicação, como circuitos elétricos, como será apresentado posteriormente, e também pode ser usada para outros problemas, como sistema massa-mola. Elas são usadas para resolver EDO’s lineares com coeficiente constante e também problemas de valor inicial.
Ela é definida da seguinte forma: Para uma função f(t) que é definida por 𝑡 > 0, para todo 𝑠 > 0, a integral deve convergir.
∞
𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓}(𝑠) = ƒ 𝑒–st𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0
Além disso, é preciso verificar algumas condições para que de fato essa transformada exista:
- Deve existir o limite: lim fb 𝑒–st𝑓(𝑡)𝑑𝑡
b→ ∞ 0
- A função f(t) deve ser contínua por partes, em todo intervalo de t>0, tendo um número finito de descontinuidades.
- Deve existir uma constante C, M>0 e T>0, tal que |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒yt, para todo t>0.
Apenas serão abordadas as formas de resolução de EDO’s e de transformadas de Laplace que forem utilizadas nos exemplos.
Circuitos elétricos
- O circuito
Um circuito elétrico é composto por uma série de componentes, conectados entre si, por meio de um condutor, formando um caminho fechado, produzindo uma corrente elétrica. Esses componentes podem ser resistores, interruptores, indutores, resistores, fontes de energia, entre outros.
Na imagem abaixo há um exemplo de um circuito elétrico, sendo então duas lâmpadas em paralelo, que na realização dos cálculos são considerados como resistores, um interruptor que tem a função de permitir ou interromper a passagem da corrente, e a fonte geradora que é a bateria CC (corrente contínua).
Figura 1: Representação de um circuito elétrico
[pic 4]
Fonte: VocêNaEletrica (2019).
Componentes
Antes de demonstrar o circuito RLC, é importante ter conhecimento de quais componentes esse circuito contém e também qual a funcionalidade de cada um deles.
Resistor: dispositivo que tem a função de impedir a passagem da corrente elétrica. Além disso, ocorre uma transformação da energia elétrica em forma de calor. Todo tipo de circuito não-ideal contém uma dissipação de energia em forma de calor, embora muitas vezes não seja desejável.
Para calcular a queda de tensão um resistor, utiliza-se a primeira Lei de Ohm,
que é
𝑉 = 𝑅. 𝑖(𝑡) (1)
Sendo V, a tensão, R uma resistência, e i a corrente que varia em função de um determinado tempo.
Capacitor: Os capacitores são armazenadores de cargas elétricas, através de um campo elétrico.
A equação para calcular a queda de tensão sobre um capacitor é:
𝑉 = Q(t)[pic 5]
C
(2)
Sendo Q a carga do capacitor, medida em Coulombs, e C a capacitância, que é medida em Farads.
Indutor: Também é um dispositivo armazenador, porém armazena através de um campo magnético.
A equação para o cálculo da queda de tensão sobre um indutor é descrita abaixo:
𝑉 = 𝐿 di[pic 6]
dt
(3)
Sendo L a indutância, medida em Henry, e di/dt a variação da corrente em função do tempo.
Fonte de tensão: Representação de um dispositivo que é capaz de fornecer uma diferença de potencial no circuito, e assim fornecer uma corrente elétrica, que alimentará os componentes.
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