Circuito RLC

   [pic 1]

Relatório 7:

Circuito RLC

Prof. Ulisses Azevedo Leitão

[pic 2]

LAVRAS/MG – FEVEREIRO/2014

Objetivos

        Entender como funciona a indutância num indutor e analisar o decaimento do sinal demonstrado em um circuito RLC.

Introdução

        Como já visto em relatórios anteriores, um indutor é um componente que armazena energia criando campos magnéticos (indutores ideias não possuem resistência real interna). Portanto quando neste indutor ideal houver uma corrente passando, haverá um campo magnético que produzirá um fluxo magnético nas áreas através de suas espiras. Indutância é uma propriedade de cada indutor, sendo esta propriedade dada pela fórmula:

[pic 3]

        Onde, N é o número de espiras do indutor, ɸ é o fluxo magnético presente em uma espira e i é a corrente que por ela está passando no momento.

        L é a indutância do indutor, que possui uma unidade própria chamada de Henry [H], onde um indutor que possui um Henry é um indutor que numa espira passa um fluxo de um Weber, passando uma corrente de um ampère através da mesma espira.

        Colocando um indutor com um resistor juntos conseguimos um circuito RL.

[pic 4]

Figura 1 - Circuito RL

        Neste circuito quando a chave está em (a), uma corrente como a circular na resistência e no indutor. O indutor, pela lei de Lenz criará uma tensão induzida contrária a corrente para assim manter o fluxo magnético dentro do mesmo constante. Portanto conseguimos a seguinte expressão para este circuito:

[pic 5]

        Para mais fácil resolução desta EDO, ela é visualizada do seguinte modo:

[pic 6]

         Resolvendo esta EDO consegue-se a seguinte expressão para a corrente:

[pic 7]

        Onde nota-se que com o passar do tempo a corrente tende a um máximo por o indutor já estar totalmente carregado e não apresentar mais tensões contrárias a corrente da fonte.

[pic 8]

Figura 2 - Comportamento da corrente num circuito RL carregando

        Após essa corrente atingir seu valor máximo, a chave é mudada para a posição (b). E assim como a corrente termina, o indutor produz outra tensão induzida agora a favor dessa corrente para que o fluxo magnético permaneça constante. Portanto a nova equação de tensões da nova malha se torna:

[pic 9]

        Sua solução é dada pela equação:

[pic 10]

        Cuja solução demonstra que a corrente agora diminui até zerar.

[pic 11]

Figura 3 - Comportamento da corrente num circuito RL descarregando

        O tempo que demora a corrente chegar ao pico ou zerar é proporcional à razão (R/L). Essa razão é bem parecida com o produto (R*C) presente num circuito RC. Tal razão produz um valor que quando o tempo atinge o mesmo demonstra que a corrente chegou a dois terços do seu valor máximo (Isso enquanto carrega), ou já decaiu a um terço do seu valor máximo (quando descarrega).

        Agora para analisar um circuito RLC.

[pic 12]

Figura 4 - Circuito RLC série

        Num circuito RLC em série a equação das tensões se da pela fórmula:

[pic 13]

        E assim fica até com que o capacitor seja completamente carregado e pare de passar corrente pelo circuito. O circuito que iremos analisar será o circuito RLC sem a presença de uma fonte de corrente contínua.

[pic 14]

Figura 5 - Circuito RLC em série

        Neste circuito, enquanto o capacitor descarrega o indutor carrega e vice versa. Num circuito LC ideal esse ciclo se repete infinitamente provocando um movimento oscilatório perfeito por não existir perda de energia, lembrando assim um MHS (Movimento Harmônico Simples) da mecânica. Porém, como existe uma resistência, a cada passagem de corrente por ele, o mesmo dissipa um pouco de energia. Fazendo com que este seja um circuito que a energia não se conserva. Lembrando um Movimento Harmônico Amortecido da mecânica. Ambos os sistemas para ambos os casos são bem parecidos e possuem a mesma resolução matemática.

[pic 15]

        Lembrando-se que a corrente é igual à derivada da carga em relação ao tempo, obtemos a equação diferencial deste circuito:

[pic 16]

        A solução desta EDO é dada por:

[pic 17]

        Onde, Q é a carga inicial do capacitor, R é a resistência do resistor, L a indutância do indutor, ω’ é a frequência do sistema amortecido e é dada pela equação:

[pic 18]

        Sendo, ωo o valor da frequência natural do sistema, que neste caso se da pela fórmula:

[pic 19]

        Com isso, esse sistema obtém a seguinte fórmula para a corrente que é a derivada da carga:

[pic 20]

        Sendo φ, uma constante de fase descoberta só tendo algum valor de i em algum tempo conhecido. Quando a corrente é analisada em cosseno, a função começa num ponto onde a corrente inicial é dada pela fórmula:

[pic 21]

O gráfico da corrente neste tipo de circuito é:

[pic 22]

Figura 6 - Comportamento da corrente num circuito RLC

Procedimentos

        Materiais utilizados:

• 01 Osciloscópio;
• 01 Protoboard;
• 01 Gerador de Funções;
• 01 Multímetro;
• 01 Indutor (812,7μH);
• 01 Resistor (49,38Ω);
• 01 Capacitor (295,6pF);

        Primeiro é montado o circuito abaixo no protoboard. Onde o gerador de funções é colocado em onda de forma quadrada, para assim visualizarmos a queda da tensão no resistor. Caso a tensão do gerador fosse colocada de forma senoidal não haveria tempo para a visualização da queda no resistor.

...