ATPS - CALCULO LIMITE

CONCEITO DE LIMITES

 Limite é o conceito mais fundamental do calculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o calculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.

 Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do calculo, limites devem vir primeiro. Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.

Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funçoes.

 PROPRIEDADES DOS LIMITES

Muitas funções do cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos xa.

 Se f(x)=C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C;

 Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b;

 Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

 Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B

 Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

 Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

 Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

 Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

 Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

 Se acontecer uma das situações abaixo:

 Lim f(x) = 0

 Lim f(x)>0 e n é um número natural

 Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar

[pic 1]

As propriedades que valem para duas funções valem também para um número finito de funções;

 As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

 Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando xa, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Este resultado é útil para podermos obter cálculos com limites.

 Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)

 Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

 cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

 Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,

[pic 2]

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

    Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

[pic 3]                                 [pic 4]                        [pic 5]

Propriedade das Funções contínuas

 Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

  f(x)g(x) é contínua em a;

 f(x) . g(x) é contínua em a;

Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

O conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado na forma de uma definição precisa:

 Definição: f é contínua num ponto a de seu domínio quando [pic 9] Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.

Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto. Assim[pic 10] é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio[pic 11] , porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto. Uma propriedade importante relaciona a continuidade de uma função num ponto de seu domínio com a derivabilidade dessa função, ou seja, com a existência de reta tangente ao gráfico nesse mesmo ponto. Se f é derivável num ponto x0 de seu domínio, então f é contínua em x0. Dessa forma, a existência de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto de seu domínio acarreta necessariamente na continuidade da função nesse ponto.