ATPS: O cálculo integral

Introdução

Essa atividade prática supervisionada (ATPS) tem por objetivo de desenvolver os exercícios de integrais definidas e indefinidas, por partes e por substituições.

INTEGRAIS

O cálculo integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Resumindo: o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

INTEGRAIS DEFINIDAS

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo, na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.

Resumindo: A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece entre o gráfico da função e o eixo do x. É o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada “SOMA DE RIEMANN”.

INTEGRAIS INDEFINIDAS

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivação de f(x).

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada. É o processo inverso da derivada, F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F.

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

Onde:

a é o limite inferior de integração;

b é o limite superior de integração;

f(x) é o integrando.

INTEGRAIS POR PARTES

Integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO

A Integral por Substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis, onde é uma função qualquer continua no domínio de integração.

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra, podendo diferir de uma constante.

Nem sempre a substituição adequada é evidente, muitas vezes é necessária fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas).

RELATÓRIO DO DESENVOLVIMENTO DOS DESAFIOS 1

RELATÓRIO: 1

DESAFIO A:

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒〖(a^3/3+3/a^3 +3/a〗 ) da?

F(a)=12a^4-(3a^(-2))/2+ln⁡〖∣3a∣+c〗

F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3ln⁡〖∣a∣+c〗

F(a)=12a^4+2/(3a^2 )-3ln⁡〖∣a∣+c〗

F(a)=12a^4+3/(2a^(-2) )+ln⁡〖∣a∣+c〗

F(a)=a^4+3/(2a^2 )+3ln⁡〖∣a∣+c〗

Resposta correta –B, pelos seguintes cálculos que veremos a seguir:

a^3/3=1/3.a^3=1/3.a^4/4=a^4/12 , então já temos a^4/12

3/a^3 =3.a^(-3)=3.a^(-2)/(-2)=3/(-2).1/a^2 = -3/(2a^2 ) , obtemos também o resultado de -3/(2a^2 )

No caso da integração do a^(-3), temos que efetuar a somatória de mais um no expoente, ficando da seguinte forma:

a^(-3)=a^(-3+1 )=a^(-2) , achando o expoente, divide-o pelo mesmo.

3/a=3(.1)/a+3ln⁡〖∣a∣+c〗 , o C inserido na função significa a constante. Enfim obtemos o último resultado.

DESAFIO B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000,00 e um custo marginal de C’(q)= 1.000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que (0)=10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q)= 10.000+ 1.000q +25q²

C(q)= 10.000 +25q +1.000q²

C(q)= 10.000q²

C(q)= 10.000 +25q²

C(q)= 10.000+ q² + q³

Resposta correta – A, pelos seguintes cálculos que veremos a seguir:

C(0) = 10.000 custo fixo, que é a nossa constante;

Fórmula

C´(q)= 1.000 + 50q = integrando fica:

∫▒〖1.000q+(50q^2)/2+C〗 = ∫▒〖1.000q+(50q^2)/2+10.000〗 = ∫▒〖1.000q+25q2+10.000〗, organizando o cálculo - C(q)10.000+1.000q+25q²

DESAFIO C:

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contatos a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1.e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

56,43 bilhões de barris de petróleo

48,78 bilhões de barris de petróleo

39,76 bilhões de barris de petróleo