AVALIAÇÃO MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS
Por: Ana Luiza Guimarães • 22/10/2020 • Trabalho acadêmico • 1.285 Palavras (6 Páginas) • 248 Visualizações
[pic 1]
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS ATIVIDADE INDIVIDUAL AVALIATIVA – A1
Aluna: Ana Luiza C. Guimarães de Aguiar
Matrícula: 20181100492
Professor: Marco Antonio Ribeiro de Almeida
Questão 1) Clientes chegam a uma pequena agência bancária segundo um processo de Poisson de taxa de λ = 0.35 clientes por minuto. A agência acomoda confortavelmente até cinco pessoas. O atendimento é prestado por um único caixa individualmente, na ordem das chegadas em um tempo exponencialmente distribuído com média igual a 1,5 minutos.
a) Avalie o desempenho dessa agência.
λ = 0,35/min n = 5 pessoas
- caixa -> M/M/1
Tempo Médio de Atendimento = 1,5 min
Intervalo de Chegada
Se λ = 1 / IC, assim:
IC = 2,857 min
Taxa de Atendimento
Se μ = 1 / TA, assim:
μ = 0,667 clientes/minuto
Taxa de Ocupação
Se ρ = λ / μ, assim:
ρ = 0,525
No caso, como λ é menor que μ, podemos concluir que não haverá fila. Além disso, como ρ < 1, o sistema é considerado estacionário.
Probabilidade de haver, pelo menos, n clientes no sistema
Considerando: n = 1
P (N >= n) = ρn = ρ1 = 0,525 = 52,5%
Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema
Considerando: n = 0
P (N > n) = ρ n + 1 = ρ1 = 0,525 = 52,5%
Probabilidade de encontrar o sistema vazio
P0 = 1 – ρ = 0,475 = 47,5%
Número médio de clientes no sistema (L)
Se L = λ / (μ – λ), então:
L = 1,1 clientes
Número médio de clientes em fila (Lq)
Sabemos que Lq = λ² / μ x (μ – λ) Assim, Lq = 0,579 clientes
Tempo médio no sistema (w)
Se w = 1 / (μ – λ), então:
w = 3,15 minutos
Tempo médio na fila (wq)
Se wq = λ / μ (μ – λ), assim:
wq = 1,65 minutos
Probabilidade de haver, exatamente, n clientes no sistema:
Considerando n = 5, por exemplo:
Pn = Po (λ / μ)n
Assim, temos que P5 = 0,019 = 1,9%
Probabilidade do cliente ter que aguardar o atendimento por mais de t > 0:
Considerando t = 10:
P(T >= t) = e – μ [1 – (λ / μ)] x t = 0,04 = 4%
O comportamento do sistema apresentado permite concluirmos que haverá um número muito baixo de clientes na fila (menor que 1), e que a probabilidade de encontrarmos o sistema vazio é significativa, sendo de 47,5%, ou seja, a probabilidade de que o caixa fique ocioso é alta, no entando, é provável que os clientes se sintam mais satisfeitos, pois terão menor tempo de espera para o atendimento.
Questão 2)
O fechamento de várias agências bancárias ao redor da agência apresentada no exercício 1 provoca nesta, uma nova taxa de chegadas, λ = 0,75 clientes por minuto. Este sistema não pode atender satisfatoriamente os clientes com um único servidor. O gerente deve, então, colocar caixas de atendimento em paralelo.
- Supondo que o gerente decida colocar mais duas caixas, analise o comportamento do sistema.
Tendo:
λ = 0,75/min
1 + 2 caixas = 3 caixas -> M/M/s
Taxa de Ocupação
Se ρ = λ / s x μ, assim:
ρ = 0,562
Como ρ < 1, o sistema é estacionário.
Probabilidade de encontrar o sistema vazio
[pic 2]
Aplicando os valores de λ (0,75), s (3) e μ (0,667), encontramos que P0 = 0,319
= 31,9%.
Número médio de clientes no sistema (Lq)
[pic 3]
Substituindo os valores de λ, s e μ, temos:
Lq = 0,072 clientes
Número médio de clientes no sistema (L)
[pic 4]
Conforme Item (2), Lq = 0,072 clientes. Assim,
L = 1,19 clientes.
Tempo médio no sistema (W)
[pic 5]
Conforme Item (3), L = 1,19 clientes. Assim,
W = 1,59 minutos.
Tempo médio do cliente na fila (Wq)
[pic 6]
Conforme Item 2, temos:
Wq = 0,096 minutos.
Probabilidade de se encontrar n clientes no sistema
[pic 7]
Se s = 3, utilizando a segunda fórmula.
P0 = 0,319, assim:
P2 = 0,202 = 20,2%
Probabilidade de se ter pelo menos s clientes no sistema, ou seja, o cliente ter que aguardar por atendimento
[pic 8]
Aplicando os valores encontrados nos itens anteriores e considerando que s = 3, encontramos P3 = 0,121 = 12,1%
Probabilidade de permanecer mais do que o tempo t no sistema ou probabilidade do tempo de permanência no sistema ser maior do que o tempo t
[pic 9]
Neste caso, supondo que t = 10 minutos e considerando todos os valores já mencionados nos itens anteriores, temos que:
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