Sistema Discreto de Múltiplos GL
Por: tashima • 10/5/2017 • Trabalho acadêmico • 1.723 Palavras (7 Páginas) • 334 Visualizações
UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina
CTC – Centro Tecnológico
EMC – Departamento de Engenharia Mecânica
EMC5140 – Controle de Vibrações
Sistema Discreto de Múltiplos GL
Fabio Tashima
Florianópolis
Julho/2012
Introdução
Os objetivos do trabalho são determinar as matrizes de rigidez, de massa e de amortecimento para uma estrutura em aço 1020, similar a um prédio de quatro andares, como mostrado abaixo.
[pic 1]
Além disso, devem-se calcular as frequências naturais e as formas modais do sistema. O espectro de magnitude da resposta (velocidade) na faixa de frequência de 0 a 100Hz (Δf=0,2Hz) no terceiro e quarto andares da estrutura quando uma força unitária é aplicada no terceiro andar, ou seja, simulando a instalação de um equipamento nesse andar, também deve ser determinado.
Por último, deve-se determinar o melhor andar para instalar o equipamento para que se tenha o menor nível de vibração no quarto andar, no caso de o equipamento ser uma máquina rotativa que irá funcionar em 3200rpm e propor pelo menos duas alterações no sistema para reduzir ainda mais o nível de vibração no quarto andar.
O comportamento dinâmico da estrutura pode ser representado por um sistema de quatro GL (graus de liberdade), onde os GL são os movimentos da estrutura (direção x) de cada andar.
Assume-se que os andares não se deformam durante o movimento da estrutura (corpos-rígidos), sendo que apenas as paredes laterais são deformadas e que a estrutura encontra-se engastada em sua base.
Modelo Analítico e Resultados
Primeiramente, alguns dados importantes para a análise serão obtidos.
O momento de inércia das paredes pode ser calculado por:
[pic 2]
Como o material das paredes é o aço 1020, o qual possui módulo de elasticidade E=205GPa, pode-se calcular as rigidezes de cada andar, sabendo-se que as alturas deles são: h1=0,12m, h2=0,14m e h3=h4=0,16m, a partir da seguinte equação:
[pic 3]
Assim, as rigidezes obtidas são:
k1 | k2 | k3 | k4 |
189815N/m | 119534N/m | 80078N/m | 80078N/m |
As massas de cada andar podem ser obtidas a partir da densidade do aço 1020: ρ=7870km/m3, sendo que o volume de todos os andares é o mesmo: V=0,2.0,1.0,02=0,004m3, desconsiderando as massas das paredes, as quais correspondem a apenas 8% das massas dos andares.
Assim, as massas obtidas são:
m1 | m2 | m3 | m4 |
3,148kg | 3,148kg | 3,148kg | 3,148kg |
Aplicando a segunda lei de Newton no sistema, obtém-se a seguinte equação geral:
[pic 4]
A qual pode ser escrita na forma matricial:
[pic 5]
Dessa forma, a matriz das massas é:
[pic 6]
A matriz de rigidezes será obtida através do método do coeficiente de influência, sendo a matriz de coeficientes de influência de flexibilidade:
[pic 7]
Assim, a matriz de rigidezes será obtida através da inversão da matriz acima:
[pic 8]
Como o amortecimento é proporcional à rigidez com fator de amortecimento ξ=0,02, a matriz de amortecimento é [C]=β.[K], sendo β=η e η≈2.ξ=2.0,02=0,04 para ξ≪1.
[pic 9]
Com as matrizes de massa e de rigidezes, podem-se obter as frequências naturais do sistema:
ω1 | ω2 | ω3 | ω4 |
68,63rad/s | 184,36rad/s | 271,44rad/s | 354,42rad/s |
Ou, em Hertz:
f1 | f2 | f3 | f4 |
10,92Hz | 29,34Hz | 43,20Hz | 56,41Hz |
As formas modais são as seguintes, obtidas a partir das colunas da solução do problema de autovalores:
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
Elas também podem ser traçadas na horizontal, expondo melhor os movimentos laterais dos andares, em função de suas alturas, em metros:
[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
Os espectros de magnitude da resposta (velocidade) na faixa de frequência de 0 a 100Hz, com uma variação Δf=0,2Hz, no terceiro e no quarto andares da estrutura, quando uma força unitária é aplicada no terceiro andar, ou seja, simulando a instalação de um equipamento nesse andar, podem ser observado no gráfico a seguir, onde a frequência está em Hertz.
[pic 18]
A equação para a obtenção do gráfico acima é a seguinte:
[pic 19]
Onde k corresponde ao andar e o sub-índice 3 corresponde à força aplicada no terceiro andar.
O melhor andar para instalar o equipamento, para que se tenha o menor nível de vibração no quarto andar, no caso de o equipamento ser uma máquina rotativa que irá funcionar em 3200rpm, é o 2º, como pode ser visto na tabela a seguir.
1º andar | 2º andar | 3º andar | 4º andar |
1801.10-9 | 665.10-9 | 1410.10-9 | 4070.10-9 |
A equação para a obtenção da tabela é a mesma da obtenção do gráfico, porém com a força variando entre os andares e sem amortecimento.
Conclusões
Para reduzir ainda mais o nível de vibração no quarto andar quando uma máquina rotativa que irá funcionar em 3200rpm é instalada no 2º andar, algumas alterações podem ser realizadas, entre elas:
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