Algebra Linear em Engenharia

MATRIZES

1. CONCEITO

Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz, as filas horizontais são chamadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas.

De maneira geral, uma matriz m x n é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Representação Genérica

É comum representar uma matriz genérica indicando cada um dos seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de um índice que se refere á posição ocupada pelo elemento na matriz. Esse índice é composto por dois números: o primeiro indica a linha e o segundo indica a coluna á qual pertence o elemento.

Por exemplo, sendo A uma matriz 2 x 3 podemos representá-las do seguinte modo:

[pic 1]

Onde:

A11 (Lê-se: a um um) = elemento que está na 1° linha e 1°coluna  

a12 (Lê-se: a um dois) = elemento que está na 1° linha e 2°coluna  

etc.

Abreviadamente, representamos a matriz A na forma:

[pic 2]

onde fica subentendido que  e .[pic 3][pic 4]

Em geral, uma matriz     é indicada assim: [pic 5]

           [pic 6]

1. MATRIZES ESPECIAIS

1.  Matriz-linha

As matrizes 1 por n (1xn) chamam-se matrizes-linha.  onde i=1 e [pic 7]

j Ou seja que possui apenas uma linha.[pic 8]

Exemplos:

1.                            matriz 1 x 4 [pic 9]
2.                                         matriz 1 x 2[pic 10]

1.  Matriz-coluna

As matrizes m por 1 (mx1) chamam-se matrizes-coluna. onde [pic 11]

i  e j =1.  Ou seja que possui apenas uma coluna.[pic 12]

Exemplos:

1.                                        matriz 3 x 1[pic 13]
2.                                        matriz 1 x 4[pic 14]

1.  Matriz-quadrada

As matrizes em que o número de linhas é igual ao número de colunas são denominadas matrizes quadradas.

Seja A uma matriz quadrada de ordem m; então:

[pic 15]

Nesta matriz A vamos distinguir alguns elementos e relações entre eles.

• Os elementos cujos índices das linhas é igual ao das colunas, formam a diagonal principal da matriz quadrada de A.

A diagonal Principal é formado por: (a11, a22, a33, ..., aii, ..., amm)

• Os elementos, cuja soma dos índices das linhas e das colunas é igual a ordem da matriz mais uma unidade, formam a diagonal secundária.

A diagonal secundária é formado por: (a1m, a2(m-1), a3(m-2), ..., ai(m-i+1),..., am1)

• Os pares elementos aij e aji são ditos simétricos em relação á diagonal principal.

Exemplos:

1.                        matriz  3 x 3[pic 16]
2.                                matriz 2 x 2[pic 17]

1.  Matriz-diagonal

As matrizes quadradas em que os elementos fora da diagonal(principal) são nulos, são as matrizes-diagonais.

A= diagonal ↔ [pic 18]

Exemplos:

1.                       matriz 4 x 4[pic 19]
2.                                         matriz 2 x 2[pic 20]

1. Matriz-identidade ou matriz-unidade

São matrizes escalares em que os elementos da diagonal são unitários.

A= diagonal ↔ [pic 21]

Exemplos:

1.                                 matriz identidade  3 x 3[pic 22]
2.                                         matriz identidade 2 x 2[pic 23]

1.  Matriz-triangular

É a matriz quadrada em que todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal principal são iguais a zero.

Exemplos:

1.                        matriz triangular inferior (Matriz  3 x 3)[pic 24]
2.                     matriz triangular superior (Matriz 2 x 2)[pic 25]

1.  Matriz-nula

Chama-se matriz nula, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.

A ≡ 0 ↔ [pic 26]

Exemplos:

1.                    matriz triangular inferior (Matriz  3 x 3)[pic 27]
2.                     matriz triangular superior (Matriz 2 x 2)[pic 28]

1.  Matriz-oposta

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A, cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A.

[pic 29]

Observe que –A, matriz oposto da matriz A, é obtida trocando-se os sinais de todos os elementos de A.

Exemplos:

1.              [pic 30]
2.                              [pic 31]

1. IGUALDADE DE MATRIZES

Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo m x n, diremos que um elemento de B é o correspondente de um elemento de A quando ele ocupar, na matriz B, a mesma posição que o outro ocupa na matriz A.

Por exemplo, sendo

[pic 32]

são elementos correspondentes em A e B:

[pic 33]

Assim, são elementos correspondentes em duas matrizes do mesmo tipo aqueles que possuem o mesmo índice. Diremos que duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e tiverem todos os elementos correspondentes iguais.