Constante de Euler

Leonard Paul Euler é até hoje considerado um dos maiores gênios de todos os tempos na Matemática e na Física, além de ter sido o maior matemático do século XVIII. Nascido no ano de 1707 à cidade de Basiléia, terceira maior cidade da Suíça, Euler fez importantes descobertas em diversos campos de cálculo e grafos. Também fez contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação.

Com apenas 13 anos de idade Euler entrou para uma faculdade ainda em Basiléia que possuía na época um famoso departamento de estudos da matemática liderado por Johann Bernoulli, este recusou-se a dar aulas particulares à Euler oferecendo apenas um conselho para que o menino estudasse por conta própria. O cenário mudou logo no ano de 1722 quando Euler recebeu o grau de Mestre em Artes, mesma época em que Johann começou a dar aulas para o garoto aos sábados descobrindo assim seu talento para matemática levando-o a convencer Paul Euler de que o garoto tinha nas mãos um futuro promissor na matemática. Até então Euler estudava teologia, grego e hebraico, desejos de seu pai para que o filho se tornasse pastor como ele. Seguindo então na área da matemática Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática como geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números e também deu continuidade na física de Newton, teoria lunar e outras áreas.

Através de seus livros didáticos, Euler também inseriu e popularizou diversas convenções de notação, entre elas, foi o primeiro a escrever f(x) para denotar a função f aplicada ao argumento x, inseriu também a notação moderna para as funções trigonométricas, a letra e para base do logaritmo natural que também é conhecido como número de Euler, a letra grega Σ para somatórios, a letra i para representar a unidade imaginária e popularizou também o uso da letra grega π que não originada por ele. Calcula-se que todas as obras de Euler teriam de 60 à 80 volumes se reunidas.

A constante de Euler-Mascheroni possui múltiplas utilizações na Teoria dos Números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural que pode ser condensada assim:

 [pic 1]

em que E(x) é a parte inteira de x.

[pic 2]

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da funcção explonencial [pic 3] para determinados valores de x.

A constante foi definida pela primeira vez por Euler em num artigo publicado em 1735 chamado De Progressionibus harmonicus observationes usando a notação C e com valor inicial calculado até as 6 primeiras casas decimais. Euler estendeu os cálculos e em 1761 publicou um valor com 16 casas decimais e apenas em 1790 outro matemático chamado Lorenzo Mascheroni introduziu a notação y para a constante e tentou estender o valor em mais 16 casas chegando a 32 casas decimais porém ele cometeu erros em seu cálculo que foram comprovados em cálculos posteriores.

Não se sabe se esta constante é racional ou não, porém se confirmada, seu denominador possui mais de 10242080 dígitos.