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2 - EQUACIONAMENTO DE SISTEMAS FÍSICOS (MODELAGEM)

Os sistemas dinâmicos, independente de serem mecânicos, elétricos, térmicos, hidráulicos, biológicos ou econômicos podem ser caracterizados por equações diferenciais. A resposta destes sistemas a uma determinada entrada ou excitação pode ser obtida se estas equações são resolvidas.

2.1 - Variáveis de Estado

Estado de um sistema se referem as condições passadas, presentes e futuras do sistema. Matematicamente, um conjunto de variáveis , x1(t), x2(t),..., xn(t), podem definir as características escolhidas para descrever as características dinâmicas de um sistema. Para que estas variáveis possam ser definidas como variáveis de estado algumas condições devem ser satisfeitas:

- Em qualquer instante t = t0, as variáveis de estado x1(t0), x2(t0),..., xn(t0), definem os estados do sistema no instante escolhido;

- Uma vez especificadas as entradas para t * 0 e os estados iniciais para t = t0, as variáveis de estado devem definir completamente o comportamento futuro do sistema;

Ou seja, as varíaveis de estado de um sistema são o conjunto mínimo de variáveis que conhecidos seus valores para um tempo inicial t0, bem como a excitação a ser aplicada subsequentemente, pode-se determinar o estado do sistema para t * t0.

As variáveis de estado não são a saída de um sistema. A saída de um sistema pode ser medida, enquanto que as variáveis de estado, muitas vezes, não podem ser medidas. A saída de um sistema é normalmente definida como uma função das variáveis de estado. As variáveis de estado estão diretamente relacionadas com os elementos armazenadores de energia do sistema. A tabela 2.1 apresenta alguns elementos armazenadores de energia encontrados em sistemas físicos.

TABELA 2.1 - Elementos armazenadores de energia.

ELEMENTO ENERGIA VARIÁVEL FÍSICA

Capacitância C

Tensão v

Indutância L

Corrente i

Massa M

Velocidade de translação v

Momento de inércia J

Velocidade angular w

Elastância K

Deslocamento x

O conjunto das variáveis de estado pode ser representado por um vetor n-dimencional x(t):

x(t) x [2.1]

2.2 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

Conceitos:

• Leis de Kirchhoff (somatória das tensões em um circuito fechado e somatórias das correntes em um nó;

• Tensão (V), corrente (A);

• Resistência (Ohm) - lei de Ohm , ; [2.2]

• Indutância (H) - lei de Faraday, ; [2.3]

• Capacitância (F) - [2.4]

a) Circuito RL - série

FIGURA 2.1 - Circuito RC série

Considerando-se uma fonte de tensão como função do tempo, e(t) , pode-se escrever:

vr (t) + vl(t) = e(t) ou . [2.5]

Considerando-se que o único elemento armazenador de energia é o indutor, que a variável de estado é x1= i(t) = i e fazendo-se e(t) = u, tem-se de [2.5]:

ou [2.6]

A equação [2.6] é a equação de estado do sistema e é suficiente para representar o desempenho futuro do sistema. O termo u é a notação convencional para a função de excitação, chamada de variável de controle.

b) Circuito RLC - série

FIGURA 2.2 - Circuito RLC série

Pode-se escrever:

vr (t) + vl(t) + vc = e(t) ou , [2.7]

(sobre o nó a) [2.8]

Variáveis de estado :

Reescrevendo as equações [2.7] e [2.8], tem-se:

[2.9]

[2.10]

Em notação matricial:

[2.11]

De modo mais geral:

[2.12]

Onde:

• A é a matriz de evolução do processo ou matriz de estado;

• x é o vetor de estado;

• B é a matriz de controle ou matriz de entrada;

• u é um vetor de controle.

Supondo que a grandeza de saída y(t), seja a tensão no capacitor, vc:

y(t) = vc = x1 ou . [2.11]

De modo mais geral:

y = Cx+Du, [2.12]

onde:

• C é a matriz resposta ou matriz de saída;

• y é o vetor resposta;

• D é a matriz de transmissão direta.

Exercício 2.1 : Dado o circuito da figura 2.3, obtenha as equações de estado e de resposta do sistema, onde a resposta do sistema é i2.

FIGURA 2.3 - Circuito elétrico do exercício 2.1.

Considere as seguintes variáveis de estado: x1 = i1, x2 = i2 e x3 = vc. Pode-se escrever