Cálculo do Momento de Inércia em Uma Figura Plana Simples
Por: Luiz Pedro • 6/11/2016 • Trabalho acadêmico • 2.647 Palavras (11 Páginas) • 1.937 Visualizações
SUMÁRIO[pic 1]
1. INTRODUÇÃO
2. DESENVOLVIMENTO
2.1 Cálculo do momento de inércia em uma figura plana simples
2.2 Centro de gravidade em figuras planas compostas
2.3 Cálculo do momento de inércia em uma figura plana composta
3. CURIOSIDADES
4. APLICAÇÃO
5. CONCLUSÃO
REFERÊNCIAS
- INTRODUÇÃO
Inércia é uma propriedade da matéria que faz com que ela resista a qualquer mudança em seu movimento. Esta propriedade é descrita com precisão na lei do movimento de Newton. Um objeto em repouso tende a permanecer nesta condição; e um objeto em movimento tende a prosseguir em linha reta. A inércia de um objeto diante de uma translação é determinada por sua massa. Diante de uma rotação, a inércia do objeto é determinada por seu momento de inércia.
O momento de inércia de área, também chamado de segundo momento de área ou segundo momento de inércia, é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais, e está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão. Basicamente os associamos a forças aplicadas na área que variam linearmente com a distância, invertendo sua direção em dado eixo.
Esse conceito algumas vezes é difícil de entender, mas no geral, a ideia é que o momento de inércia é a “rigidez à rotação” de um objeto. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer esse objeto girar ou parar quando já estiver girando.
- DESENVOLVIMENTO
Dois conceitos fundamentais para a resistência dos materiais, e para as engenharias de maneira geral, são os de momento estático e centroide de uma área. Esses conceitos são amplamente utilizados no estudo de elementos sujeitos à flexão, sendo definidos a seguir:
• Momento estático – O momento estático de um elemento de superfície, em relação a um eixo, situado no mesmo plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo dado.
• Centroide ou centro de gravidade – O centroide de uma superfície é o ponto por onde passam todas as retas do plano da superfície, em relação às quais é nulo o momento estático.
Para calcular o centro de gravidade, três eixos de referência são usados para isso (x, y, z), mas só se precisa de um eixo para definir o momento de inércia. Embora qualquer eixo possa ser de referência, é desejável selecionar os eixos de rotação do objeto como referência. Se o objeto está montado sobre suportes, o eixo está definido pela linha central dos suportes. Se o objeto voa no espaço, então este eixo é um "eixo principal" (eixos que passam pelo CG e estão orientados de forma que o produto de inércia ao redor desse eixo é zero). Se o eixo de referência vai utilizar-se para calcular o momento de inércia da forma complexa, deve ser escolhido um eixo de simetria para simplificar o cálculo.
Para a maioria dos problemas práticos de resistência dos materiais e engenharia, o calculo da área pode ser feito utilizando-se uma decomposição da área total A, para áreas menores compostas por figuras conhecidas, dispensando-se a necessidade de integração.
Quando houver dois eixos de simetria, como por exemplo, num circulo e num retângulo, e o centroide coincidira com o centro geométrico da figura. Como exemplos são apresentados as figuras abaixo:
[pic 2]
Figura – Centro de gravidade coincidindo com o centro geométrico.
Fórmulas para cálculo do momento de inércia em algumas figuras geométricas
[pic 3]
- Cálculo do momento de inércia em uma figura plana simples
[pic 4]
Para calcular o momento de inércia da figura acima, utilizamos a seguinte fórmula:
I = [pic 5]
b = Base (será sempre paralela ao eixo de referência)
h = altura
A = área
D= distância da fibra mais afastada
Assim, temos:
Ix = [pic 6]
Iy =
[pic 7]
Obs: D= 0, pois os eixos x e y passam pelo centro de gravidade da figura.
Com base nos cálculos, podemos concluir que o objeto tem mais facilidade para girar em torno do eixo y do que no eixo x.
- Centro de gravidade em figuras planas compostas
Se uma área for simétrica em torno de um eixo, o centroide deve estar nesse eixo porque o primeiro momento sobre um eixo de simetria é igual a zero. Por exemplo, o centroide de uma área unicamente simétrica mostrado abaixo deve estar no eixo x, que é o eixo de simetria. Por isso, apenas uma coordenada deve ser calculada para localizar o centroide C.
[pic 8]
Se uma área tem dois eixos de simetria como ilustrado abaixo, a posição do centroide pode ser determinada por inspeção porque ele fica na interseção dos eixos de simetria.[pic 9]
Uma área do tipo ilustrado na figura abaixo é simétrica em relação a um ponto. Ela não apresenta eixos de simetria. Mas há um ponto (chamado de centro de simetria) de forma que toda linha desenhada através desse ponto intercepta a área de maneira simétrica. O centroide dessa área coincide com o centro de simetria e por isso o centroide pode ser localizado por inspeção.
[pic 10]
Em engenharia raramente precisamos localizar centroides através de integrações, porque os centroides de figuras geométricas comuns já são conhecidos e tabulados. Entretanto, frequentemente precisa-se localizar os centroides de áreas compostas de várias partes, cada parte tendo um formato geométrico familiar como um retângulo ou um círculo. Exemplos de tais áreas compostas são as seções transversais de vigas e colunas, que geralmente consistem de elementos retangulares.
As áreas e os primeiros momentos de áreas compostas podem ser calculados somando as propriedades correspondentes das partes dos componentes. Vamos assumir que uma área composta é dividida em um total de n partes e vamos denotar a área da t- ésíma parte por A. Então podemos obter a área e os primeiros momentos através dos somatórios seguintes:
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