Desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm

Etapa 1

Passo 1

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

 Integrais

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando fé uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é à distância (D) viajando em um determinado tempo (t).

[pic 1]

Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A ideia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância viajada exata. 

[pic 2]

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b).

Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, à distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região escura s.

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base x e altura h dá a distância (tempo x multiplicado pela velocidade h) viajada naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela(x) =h. A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para x nos dará mais retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em x tender à zero.

O símbolo da integração é [pic 3]·, um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

[pic 4]

E lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

[pic 5].

Desde que a derivada da função y = x² + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

[pic 6].

Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss).

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