Equações diferenciais do movimento retilíneo

 MONITORIA: CÁLCULO I

UnB Campus Gama

Equações diferenciais do movimento retilíneo, Extremos locais e problemas de otimização.

Resolva as equações diferenciais separáveis de primeira ordem abaixo: y ´ = 𝑑𝑦𝑑𝑥 e y´´ = 𝑑²𝑦𝑑𝑥²

a) y ´ = 2x

b) y ´ = 3x²

c) y ´ = 3

d) y ´ = x-1 + xy – y

e) xdy-ydx = 0

f) y ´= −𝑥√4−𝑥²

g) y ´´ = - 3.x-4

h) y ´´ = 4x+3

1) Uma pedra é atirada verticalmente para cima, partindo-se do solo com uma velocidade inicial de 25 m/s. Se a única contra força existe é a gravidade local de 9.8 m/s². (a)Encontre o tempo em que a pedra atingirá o solo. (b) A velocidade que a pedra atinge o chão. (c) Altura máxima atingida pela pedra.

2) Ache as trajetórias ortogonais da família de elipses x² + 3y² = c e y = kx³

3) Sabendo-se que o MHS é definido por um ponto P movendo em uma reta coordenada l se sua distância s(t) da origem até o instante t é dada por: s(t) = k cos(ωt+b), ou s(t) = k sin(ωt+b), onde k, w e b são constantes, ou ω> 0 exige-se também que a aceleração do MHS seja a(t) = -ω²s(t). Uma partícula em uma mola vibrante move-se verticalmente de modo que sua distância s(t) de um ponto fixo na reta de vibração é dada por s(t) = 4 + 125 sin(100ᴨt), onde s(t) é em centímetros e t é em segundos. (a) Qual o tempo necessário para a partícula completar uma vibração. (b) Determine a velocidade da partícula nos tempos = 1.0 ; 1.005; 1.01 e 1.015.

Determine os extremos das funções abaixo e diga se a função é crescente ou decrescente, ou ainda constante:

a) f(x) = 4 – x² em um intervalo I = [-2,1] , (-2,1) , (1,2] e (1,2).

b) f(x) = 1𝑥² em I = [-1,2] e [-1,2)

c) f(x) = (x-1)2/3 +2 em I = [0,9]

d) f(x) = (x+5)² √𝑥−43

e) f(x) = x³-12x

f) f(x) = 2 sinx + cos2x em I = [0,2ᴨ]

Se é crescente, decrescente ou constante para f

1) Crescente em I se f(x1)

2) Decrescente em I se f(x1)>f(x2) quando x1

3) Constante em I se f(x1)= f(x2) para x1 e x2.

Extremos de funções contínuas em [a,b]

1) Determinar todos os números críticos de f. (derivada primeira)

2) Calcular f(crítico) para cada número crítico. (Na função)

3) Calcular os valores extremos f(a) e f(b)

4) Os valores máximo e mínimo de f em [a,b] são o maior e o menor valor da função calculados em 2 e 3.

Teste da derivada primeira

1 – Se f´(x) passa de positiva para negativa em c, então f(c) é máximo local de f.

2 – Se f´ passa de negativa para positiva em c, então f(c) é mínimo local.

3) se f´(x) > 0 ou se f´(x) < 0 para todo x em I, exceto em x=c, então f(c) não é extremo local de f.