Espaços vetoriais

RESOLUÇÃO DA PROVINHA – ENG. CIVIL – ÁLGEBRA LINEAR –SET/2013

1)Conceituar:

a)Subespaço vetorial.              .

Resp.

Um conjunto não vazio V, subconjunto de um espaço Vetorial W é subespaço vetorial de W se são válidas as duas condições:

i)Dados u, vЄV, tem-se (u+v)ЄV;          ii)Dados uЄV  e  αЄR, tem-se αu ЄV

b)Combinação linear

Um vetor  v  é combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn se existem reais tais que  

                                          v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn .

c)Vetores LI – linearmente independentes

Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é LI ou Linearmente Independente se a equação

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0  admite somente a solução nula.

2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0}  é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Resp.:

Sejam os vetores de S:  v1 = (4y1; y1; 0)  e  v2 = (4y2; y2; 0)  e número α  real:

i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2);  y1+ y2; 0) ЄR3

ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3.

Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3.

3)Determinar a dimensão e criar uma base para os espaços vetoriais:

a) {(x, y, z) | y = 2x}        

Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto:  (x; 2x; z). tem-se:

• Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico).
• Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico:

Para x = 1  e  z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2).  Para  x = 4  e  z = 5 ==> v2 = (4; 8, 5)

 E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)}

b){(x, y, z) | x = 3y  e  z = -y}

De forma semelhante, tem-se:

Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto:  (3y; y; -y). tem-se:

• Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico).
• Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se

um vetor particular a partir do genérico:

Para y = 1  ==> v = (3; 1; -1)

 E uma base é B = {v} = {(3; 1; -1)}

4)Mostrar que S = {(x, y; z) | y = x +3  e  z = 0} não é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (x1; x1+3; 0)  e  v2 = (x2; x2+3; 0).  Tem-se:

i)v1+v2 = (x1; x1+3; 0) + (x2; x2+3; 0) = (x1+x2; x1+x2+6; 0) [pic 1]S

        Então o conjunto S acima não é subespaço vetorial de R3.

5)Escrever o vetor w = (7, –11, 2) como combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2)  e  v = (-1, 2, 4).

Resp.:   Assim:   a(2, -3, 2) + b(-1, 2, 4) = (7, -11, 2) ==> (2a – b, -3a+2b, 2a + 4b) = (7, -11, 2)

O que fornece o sistema linear [pic 2]  cuja resolução fornece:

[pic 3]

[pic 4]          Então   w = 3u – v

6)Conceituar:

a)Igualdade de matrizes.

Resp. Duas matrizes de mesma ordem são iguais se os termos de mesma posição são iguais.

Ou:  As matrizes A = (aij)mxn  e   B = (bij)mxn  são iguais se  aij = bij.

b)Matriz transposta.

Resp. A matriz At é transposta da matriz A = (aij)mxn se At = (aji)nxm; isto é, as colunas de At são respectivamente as linhas da matriz A.

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