Funcoes de Duas ou Mais Variáveis

 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

Uma função de uma ou mais variáveis é simbolizada por uma expressão do tipo [pic 1] que significa que w é uma função de [pic 2]

Como ocorre nas funções de uma variável, nas funções de várias variáveis temos: domínio, imagem, gráficos,...

Restringir-nos-emos a funções de duas variáveis, que definiremos abaixo com um maior rigor.

Definição: Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais [pic 3] de um conjunto [pic 4] um único valor real denotado por [pic 5]. O conjunto [pic 6] é o domínio de [pic 7], e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de [pic 8], ou seja, [pic 9].

É comum representarmos a função por [pic 10]onde x, y são as variáveis independentes e z é a variável dependente.

Exemplo: O volume de uma piscina circular que depende do raio e da altura

[pic 11]

Resumo de algumas curvas muito úteis para determinarmos o domínio das funções de várias variáveis.

CIRCUNFERÊNCIA:

Equação reduzida da circunferência:

[pic 12]

Onde (a, b) é o centro da circunferência e r o raio da circunferência

Exemplos:

a) [pic 13]

b) [pic 14]

c) [pic 15]

ELIPSE

• Equação reduzida (ou forma padrão) da elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior está no eixo x.

[pic 16]

Onde [pic 17] refere-se ao intercepto do eixo x, e [pic 18] refere-se ao intercepto do eixo y, com[pic 19]

• Equação reduzida (ou forma padrão) da elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior está no eixo y.

[pic 20]

Onde [pic 21] refere-se ao intercepto do eixo y, e [pic 22] refere-se ao intercepto do eixo x, com[pic 23]

Exemplos:

• [pic 24]

b) [pic 25]

c) [pic 26]

HIPÉRBOLE

• Equação reduzida (ou forma padrão) da hipérbole de focos sobre o eixo y e centro na origem.

[pic 27]

• Equação reduzida (ou forma padrão) da hipérbole de focos sobre o eixo x e centro na origem.

[pic 28]

Obs.: O [pic 29] sempre é o valor que está abaixo do termo positivo e representa o eixo que a hipérbole estará.

Exemplos:

• [pic 30]

b) [pic 31]

c) [pic 32]

Gráfico de função de várias variáveis

Se f for uma função de duas variáveis, definimos o gráfico de [pic 33] no espaço xyz como sendo o gráfico da equação [pic 34] onde (x, y) pertencem ao domínio de f.

Exemplos: Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) [pic 35] ( função linear)

• [pic 36]

CURVAS DE NÍVEL -  Definição: Dada uma função [pic 37] interceptada por um plano horizontal [pic 38], todos os pontos da intersecção têm [pic 39], onde [pic 40] é uma constante e [pic 41] e [pic 42] estão no domínio de [pic 43]. A projeção dessa intersecção sobre o plano [pic 44] é chamada curva de nível de altura [pic 45]. Um conjunto de curvas de nível é chamado de um esboço de contornos ou mapa de contorno de [pic 46].

[pic 47]

LIMITE E CONTINUIDADE

LIMITES

Quando temos uma função de uma variável, há dois limites laterais em um ponto [pic 48], são eles:

[pic 49] e [pic 50]

Isto significa que podemos nos aproximar de um ponto pela direita ou pela esquerda. Dizemos que o limite existe se os limites laterais existirem e forem iguais. Mas, se a função for de duas variáveis, temos uma infinidade maneiras de aproximar-nos do ponto. Intuitivamente, dizemos que o limite existe se for o mesmo para TODOS os caminhos distintos. Abaixo, formalizaremos essa definição:

DEFINIÇÃO: Seja [pic 51] uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próximos de [pic 52]. Dizemos que o limite de [pic 53] quando [pic 54] tende a [pic 55] é L e escrevemos [pic 56] se para todo [pic 57], podemos encontrar um número [pic 58] tal que [pic 59] sempre que [pic 60] pertencer ao domínio de [pic 61] e [pic 62].

[pic 63]

TEOREMA: Se [pic 64] quando [pic 65], então [pic 66] quando [pic 67] ao longo de qualquer caminho contínuo que esteja situado no domínio de [pic 68]. Se o limite [pic 69] deixar de existir quando [pic 70] ao longo de alguma curva no domínio de [pic 71], ou se [pic 72] tiver diferentes limites quando [pic 73] ao longo das curvas suaves diferentes no domínio de [pic 74], então o limite de [pic 75] não existe quando [pic 76].

CONTINUIDADE

Usando as mesmas idéias de funções de uma variável, definimos funções contínuas:

DEFINIÇÃO: Diz-se que uma função [pic 77] é contínua em [pic 78] se [pic 79]. Além disso, se [pic 80] for contínua em cada ponto de uma região R do plano xy, então dizemos quef é contínua sobre R; e se f for contínua em todo o plano xy, então dizemos que f é contínua em toda parte. Ademais, diremos que f é uma função contínua, se ela for contínua em cada ponto do seu domínio.

Exemplo de função contínua: funções polinomiais.