Física Exercícios Comentados Bloco

Exercícios Comentados Bloco 1

1. Uma haste uniforme é colocada sobre duas rodas giratórias, conforme a figura abaixo. Os eixos das rodas estão separados por uma distância l = 20 cm, o coeficiente de atrito estático entre a haste e as rodas é m = 0;18. Demonstre que neste caso a haste executa oscilações harmônicas. Encontre o período dessas oscilações.

[pic 1]

Figura 1:

Solução Comentada

Para demonstrar que a haste realiza oscilações harmônicas é preciso mostrar que a equação do movimento do seu CM é do tipo x¨ + w2x = 0. Para isto é conveniente adotar um sistema de coordenadas apropriado e passar a representar as forças que atuam sobre a haste. A figura 2 ilustra a situação do problema, bem como define o sistema de coordenadas adotado. Nele, a origem foi tomada no centro entre os dois pontos de contato das rodas com a haste.

[pic 2]

	yˆ
	xˆ
~			~
N1			N2
~r1	CM	~r2

~	x		~
Fa1			Fa2
l=2		~	l=2
		P

Figura 2:

Suponha-se que o CM da haste, num instante de tempo arbitrário, encontra-se deslocado de uma pequena dis-tância x da origem.

Neste cenário, a equação de movimento do CM é

~   ~	~	~	~	~	(1)
F = Fa1	+ Fa2	+ N1	+ N2	+ P = ma~CM

1

com
	~	= mN1xˆ	~	= mN2(  xˆ)	(2)
	Fa1	Fa2
e
~	= N1yˆ	~	= N2yˆ	~	= mg(  yˆ)	(3)
N1	N2	P
Nos eixos cartesianos, temos:
I-) No eixo xˆ
			Fa1 + Fa2 = mx¨		(4)
m(N1	N2) = mx¨ =) m(N1	N2) = mx¨	(5)
II-) No eixo yˆ
N1+N2	mg = 0 =) N1 + N2 = mg ;	(6)
e substituindo eq.(6) em eq.(5) obtemos para a coordenada x do CM da haste:
			m(2N1	mg) = mx¨		(7)

Para encontrar a nossa última incógnita N1 podemos usar a condição de estabilidade do movimento de rotação da haste. Isto é, dado que a haste não realiza um movimento de rotação, então o torque total com respeito ao centro

de massas debe ser nulo.

O torque das forças de atrito é nulo já que a linha de ação destas passa pelo        . O torque do peso ~ também é

CM        P

nulo já que, por definição, o peso é uma força cujo ponto de aplicação é justamente o CM. Com isto, temos que as

únicas forças capazes de produzir torque em relação ao CM são as forças normais

~

~

. Sendo assim, temos que:

N1 e N2

III-) A ausência de rotação implica

~

=)

~

(8)

å~CM = 0

~N1 +~N2 = 0

~

~

=)

~

~

~

;

(9)

~ N1 = ~r1   N1 ; ~ N2 = ~r2   N2

~r1   N1 +~r2   N2

= 0

do desenho podemos ver que

~r1 = (l=2 + x)(

xˆ) ;

~

= N1yˆ =) ~r1

~

=

(l=2 + x)N1(xˆ  yˆ) =

(l=2 + x)N1zˆ

(10)

N1

N1

~r2 = (l=2

x)xˆ ;

~

= N2yˆ =) ~r2

~

= (l=2  x)N2(xˆ  yˆ) = (l=2

x)N2zˆ

(11)

N2

N2

~ N1 +~ N2 = [(l=2

x)N2

(l=2 + x)N1]zˆ = 0 =) (l=2 + x)N1 = (l=2

x)N2 ;

(12)

e mais uma vez usando eq.(6) em eq.(12) obtemos

N =

mg

(1

2x=l):

(13)

1

2

Finalmente substituindo eq.(13) em eq.(7) temos

com  w = r

2mg

:

x¨ +

x = 0   x¨ + w2x = 0

2mg

(14)

l

l

O período das oscilações é calculado a partir da frequência w mediante

T = w

= 2ps

= p

s

= 1:5 s

(15)

2mg

mg

2p

l

2l

2

...