Integrais por partes e por substituição: Definição

ETAPA 02

Passo 1:

Integrais por partes e por substituição: Definição

Integração por partes: é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral, podendo ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:

onde e são funções de classe C no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

Integração por substituição: é um processo para encontrar a integral, que consiste na substituição de uma variável (às vezes, da própria função) por uma função a partir do teorema fundamental do cálculo. Esse método consiste em escolher um valor I ⊆ ℝ que deve conter um intervalo real e ϕ: [a,b] →I deve ser uma função diferenciável contínua. Após isso, supõe-se que ƒ : I → ℝ é uma função contínua:

Passo 2:

Considerando as seguintes igualdades:

∫▒〖(3-t).〖(t^2-6t)〗^4 〗=∫▒〖u^4.du/(-2)〗=-u^5/10=-〖(t^2-6t)〗^5/10

u=t^2-6t

du=2t-6dt

du=-2t(-t+3)dt

du/-2=(3-t)dt

∫_0^5▒t/√(t+4) dt=t.2〖(t+4)〗^(1/2)-∫_0^5▒〖1.2〖(t+4)〗^(1/2) 〗 dt

u=t

u’=1

v=2(t+4)^(1/2)

v’=(t+4)^((-1)/2)

2t〖(t+4)〗^(1/2)-2∫_0^5▒(t+4)^(1/2) dt=

2t〖(t+4)〗^(1/2)-2∫_0^5▒(t+4)^(1/2) dt=

2t〖(t+4)〗^(1/2)-4/3 (t+4)^(3/2) |_0^5=

(2.5√(5+4)-4/3 √((〖5+4)〗^3 ))-(2.0√(0+4)-4/3 √((0+4)^3 ))=

(30+36)-(0-32/3)=-6+32/3=|-14/3|= 4,66

∫▒〖(t+4)〗^(1/2) dt=∫▒〖u^(1/2) du=〖(t+4)〗^(3/2)/(3/2)〗=(2〖(t+4)〗^(3/2))/3

u=t+4

dt=du

Podemos afirmar que: I e II são verdadeiras, logo a alternativa A é a correta, associamos então o numero 4.

ETAPA 03

Passo 1:

Calculo de área utilizando integrais: definição

A integral de uma função foi criada no intuito de determinar áreas sob uma curva no plano cartesiano. Os cálculos envolvendo integrais possuem diversas aplicações na Matemática e na Física. Observe a ilustração a seguir:

Para calcular a área da região demarcada (S) utilizamos a integrada função f na variável x, entre o intervalo a e b:

A ideia principal dessa expressão é dividir a área demarcada em infinitos retângulos, pois intuitivamente a integral de f(x) corresponde à soma dos retângulos de altura f(x) e base dx, onde o produto de f(x) por dx corresponde à área de cada retângulo. A soma das áreas infinitesimais fornecerá a área total da superfície sob a curva.

Ao resolvermos a integral entre os limites a e b, teremos como resultado a seguinte expressão:

Passo 2:

Considerando as seguintes regioes S1(figura 1) e S2(figura 2). As áreas S1 e S2 são respectivamente 0,6931 ua e 6,3863 ua.

Podemos afirmar que:

S1=∫_0^2▒〖(1/x)=ln⁡(x)|_0^2 〗=ln⁡(2)=0,69u^2

S2=∫_0^4▒〖(4/x)=4ln⁡(x)|_0^4 〗=4 ln⁡(4)=5,54u^2

A I é verdadeira e a II é falsa, logo a alternativa C é a correta, associamos então o numero 8.

ETAPA 04

Passo