MECANICA Dos FLUIDOS Etapas 1,2 E 3

Seja um escoamento através de um tudo de secção variável. Se não houver fugas,

então há conservação da massa, i.e., num dado intervalo de tempo Δt, a massa que entra é igual à que sai, Δm1=Δm2=const. Por exemplo, no tubo representado na figura 3.1, as quantidades Δm1 e Δm2 são dadas pelas expressões

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Δ m = ρ ΔV = ρ A s = ρ A v Δt e 2 2 2 2 2 Δ m = ρ A v Δt ,

em que ρ e v representam a densidade e a velocidade do fluido e A e s a secção transversal e o comprimento do elemento de fluido, respectivamente. Como a massa conserva-se (Δm1=Δm2=const.), então, igualando as equações anteriores, obtém-se

ρAv = const. A equação (4) denomina-se equação da continuidade. O produto ρAv representa o fluxo mássico, i.e., a quantidade de massa que passa na conduta por unidade de tempo. Quando a densidade é constante a expressão pode ser escrita na forma Q = Av = const., em que Q representa o caudal volúmico.

Viscosidade de um fluido

A viscosidade desempenha nos fluidos o mesmo papel que o atrito nos sólidos. Este conceito é encontrado em problemas de escoamento de fluidos e tratado como uma medida da resitência que um fluido oferece a uma força de cisalhamento aplicada.

Para apresentar a explicação da causa microscópica da força de viscosidade, consideramos um fluido em

movimento. Enquanto as moléculas de um fluido em repouso movem-se em todas as direções com igual probabilidade, as moléculas de um fluido em movimento terão preferência de orientar suas velocidades no sentido do fluxo, com velocidade média de arraste coincidindo com a velocidade do fluido. Num fluido ideal as moléculas são consideradas esferas rígidas e, por hipótese, não exercem forças umas nas outras exceto nas colisões elásticas. Como conseqüência, deveríamos esperar que uma força de cisalhamento exercida sobre uma camada superficial de fluido, seja para colocá-lo em movimento, seja pela presença de um meio sólido em torno do qual escorre, não pudesse ser transmitida para as suas camadas mais internas.

Entretanto, ao passar de uma para outra camada do fluido, uma molécula transfere momentum entre essas camadas, pois sai de uma camada que tem uma certa velocidade de arraste e chega a outra com velocidade de arraste diferente. A transferência de momentum ocorre devido à colisão da molécula transferida com uma molécula da camada de chegada e sua conseqüente captura por esta camada.

O resultado final da passagem ao acaso das moléculas entre as camadas do fluido é diminuir a velocidade média das moléculas da camada que se move mais rapidamente e aumentar a da camada que se move mais lentamente.

A origem da

viscosidade dos fluidos pode ser representada por uma analogia conhecida. Dois trens estão se movendo no mesmo sentido, com velocidades diferentes, sobre trilhos paralelos e os passageiros saltam de um trem para o outro. Quando um passageiro salta do trem mais veloz para o trem mais lento, ele transporta um momentum m.v, onde m é a sua massa e v a diferença de velocidade entre os trens. Transferindo esse momentum para o trem mais lento, este passageiro tende a apressá-lo. Analogamente, um passageiro que pula do trem mais lento para o mais o mais rápido tende a atrasá-lo. O resultado líquido de um número muito grande de saltos é uma tendência a igualar as velocidades dos dois trens. Um observador, tão afastado que não pudesse ver os passageiros saltando, consideraria este resultado como uma conseqüência de uma força de atrito entre os trens.

Conhecida a origem da força de viscosidade, sabemos agora que, quando um fluido escoa sobre uma superfície plana fixa, a camada de fluido adjacente à superfície mantém-se imóvel e as camadas seguintes têm velocidades progressivamente maiores. A força de atrito, F, que resiste ao movimento relativo de duas camadas adjacentes quaisquer, é proporcional à área entre elas, A, e o gradiente de velocidade entre as mesmas, distantes de z, igual a dv/dz.

F = .A.(dv/dz)

A constante

de proporcionalidade, , é chamada de coeficiente de viscosidade. A Equação acima expressa a lei do escoamento viscoso de Newton.

A viscosidade de um fluido ideal à temperatura T pode ser expressa em termos de suas propriedades microscópicas como

 = (2/3.3/2).(m.k.T)1/2/d2

onde m é a massa e d o diâmetro molecular.

A Equação acima indica que a viscosidade aumenta com a raiz quadrada da temperatura T. O aumento da viscosidade com a temperatura é confirmado pela experiência, mas a dependência é mais forte do que a prevista por uma lei da forma T1/2. Isto ocorre porque as moléculas não são realmente esferas rígidas, ou seja, as colisoes por elas sofridas não são perfeitamente elásticas. quanto maior a temperatura, mais rapidamente as moléculas se movem e, portanto, mais profundamente uma molécula penetra no campo de força da outra antes de ser repelida. Neste processo há perda de energia cinética de translação, isto é, as moléculas são freadas. Isto resulta em um aumento adicional da viscosidade sobre aquele resultante da transferência de momentum por colisões elásticas entre as moléculas.

Consideremos agora uma esfera que se move com uma velocidade pequena dentro de um fluido em repouso. Ela sofre uma força retardadora que depende da velocidade. Esta força é proporcional à viscosidade do fluido, ,

à velocidade, v, e ao raio da esfera, r,

F = - 6 ..r.v

O sinal negativo indica que a força é retardadora.

Elasticidade

Uma propriedade importante de um fluido compressível é o seu módulo de elasticidade volumétrica, que indica como o volume específico varia com a pressão aplicada:

Quanto maior o valor de ε, menos compressível é o fluido. O sinal negativo é necessário, uma vez que o volume diminui com o aumento de pressão.