Maximo e minimo e hessiana

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Instituto de Matemática, Estatística e   

Computação Científica   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trabalho de Cálculo II

Máximos e Mínimos e Hessiana

 

 

 

 

 

 

 

 

Aluno :  Eduardo Silva Martins

Ra:         023617

 

 

 

 

 

Campinas, 18 de novembro de 2003

 

Teorema : Seja f : A          R uma função de classe C^2 definida num aberto A⊂R^n: Suponha que P∈ A , seja um ponto crítico de f: Sejam

λ1,λ2,λ3....λn os autovalores da matriz hessiana de f em P e H(P) o hessiano

de f em P: Temos

1. se ¸j > 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de mínimo local de f;
2. se ¸j < 0 para todo 1 · j · n então P é um ponto de máximo local de f;
3. se existirem dois autovalores  λie λj com sinais opostos então P é um ponto de sela de f;
4. nos demais casos, isto é,

1. λj ≥ 0 ; para todo i ≤ j ≤ n e existe um autovalor¸ i = 0 ou
2. λj ≤ 0 ; para todo i ≤ j ≤ n e existe um autovalor¸ i = 0 não podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crítico P.

 

Para comprovarmos que tal teorema é verdadeiro, compararemos os valores obtidos através do teorema com o gráficos que serão plotados no Mathematica.

 

Letra A)

 

G(x,y) = Sin[x]*Cosh[y]

 

Gx = Cos[x]*Cosh[y]  

Gy = Sin[x]*Sinh[y]

 

Nos pontos onde a primeira derivada é zero temos um ponto de máximo,de mínimo ou de sela, temos então que determinar tais pontos:

p/  x=π/2      y= 0 p/  x=3π/2     y = 0

Temos então dois pontos candidatos a mínimo da função:

A=(π/2 , 0)

B=(3π/2, 0)

Encontrando as derivadas de segunda da função G(x,y) podemos encontrar a Hessiana desta.

 

Gxx = Sen(x)*Cosh(y)           Gyx = Cos(x)*Senh(y)      

Gxy =  Cos(x)*Senh(y)          Gyy = Cos(x)*Senh(y)            

 

Sen x Cosh y Cos	x	Senh	y
Cos x Senh y Sen	x	Cosh	y

Assim, no ponto A, a Hessiana é: [pic 1]

 

0        O polinômio característico é:

(1−λ)^2=0 

[pic 2] 1         λ=±1  

Como existe um autovalor negativo e outro positivo o ponto A é um ponto de sela. No ponto B a Hessiana é a mesma do ponto A, assim o ponto B também é um ponto de sela.

Note, pela figura 1, que o resultado encontrado é coerente.  Figura 1

[pic 3]

                              

 

Letra B)

 

G(x,y) = x^3  +  y^3  -3*x*y

 

Gx =   3 x^2 – 3y  = 0              x^2=y

Gy =  -3 x + 3*y^2  = 0           y^2=x

 

Das equações acima tiramos que os pontos a = (0,0,0) e  b = (1,1,-1) são pontos críticos.

A Hessiana para a equação g(x,y)será:

 

Gxx Gyx

Gxy Gyy

6x 3

3 6y

 

No ponto a:

0 3

3 0  

 O polinômio característico dessa matriz é: λ^2−9 = 0            λ=±3 

 

Como a Hessiana para o ponto a=(0,0,0)  tem um autovalor negativo e outro positivo, este é um ponto de sela.

 

Para o ponto b:

1 3

3 1 

O polinômio característico dessa matriz é:

λ^2−2λ−8 = 0               λ'=−2   e  λ''= 4 

 

Mais uma vez a Hessiana teve um autovalor negativo e outro positivo, assim a equação G(x,y) = x^3  +  y^3  -3*x*y  não possui ponto de máximo nem de mínimo.

 

Fazendo o gráfico no Mathematica podemos notar que o que concluímos é coerente com a realidade (Ver figura 2):

 Figura 2

[pic 4]

[pic 5]-5        2

                                             

 

Letra C)

 

G(x,y,z) = (x-2)^2  +  (y-3)^2  +  (z-1)^2