Método de Cramer e Gauss

Atividade de Aprofundamento

Considere o seguinte sistema linear:

1) Método de Cramer.

A incógnita x = Dx = -59 = 2 D -29,5

A incógnita y = Dy = 29,5 = -1 D -29,5

A incógnita z = Dz = -118 = 4 D -29,5

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(2,-1,4)}.

D = [(0,5 x 2 x-3) + (-1 x 1 x 5) + ( 1x 3 x-1)]–[(5 x 2 x 1) + (-1 x 1 x 0,5) + (-3 x 3 x-1)] D = [(-3) + (-5) + (-3)] – [(10) + (-0,5) + (9)] D = [-11]–[18,5] D =-29,5

D = [(6 x 2 x-3) + (-1 x 1 x 1) + (1 x 8 x-1)]–[(-1 x 2 x 1) + (-1 x 1 x 6) + (-3 x 8 x-1)] D =[(-36) + (1) + (-8)]–[(-2) + (-6) + (24)] D = [-43]–[16] D =-59

D =[(0,5 x 8 x-3) + (6 x 1 x 5) + (1 x 3-1)]–[(5 x 8 x 1) + (-1 x 1 x 0,5) + (-3 x 3 x 6)] D = [(-12) + (30) + (-3)]–[(40) + (-0,5) + (-54)] D = [15]–[-14,5] D = 29,5

D =[(0,5 x 2 x-1) + (-1 x 8 x 5) + (6 x 3 x-1)]–[(5 x 2 x 6) + (-1 x 8 x 0,5) + (-1 x 3 x-1)] D = [(-1) + (-40) + (-18)]–[(60) + (-4) + (3)] D = [-59]–[59] D =-118

2) Método de Gauss.

m1 = a21 a11 m1 = 6

a21 = a21 – m1 .a11 a21 = 3 – 6 x ½ a21 = 3 – 3 a21 = 0

a22 = a22 – m1 .a12 a22 = 2 – 6 x (-1) a22 = 2 + 6 a22 = 8

a23 = a23 – m1 .a13 a23 = 1 – 6 x 1 a23 = 1 – 6 a23 = -5

a24 = a24 – m1 .a14 a24 = 8 – 6 x 6 a24 = 8 – 36 a24 = -28

m2 = a31 a11 m2 = 10

a31 = a31 – m2 .a11 a31 = 5 – 10 x ½ a31 = 5 – 5 a31 = 0

a32 = a32 – m2 .a12 a32 = -1 – 10 x (-1) a32 = -1 + 10 a32 = 9

a33 = a33 – m2 .a13 a33 = -3 – 10 x 1 a33 = -3 – 10 a33 = -13

a34 = a34 – m2 .a14 a34 = -1 – 10 x 6 a34 = -1 – 60 a34 = -61

m3 = a32 a22 m3 = 9/8

a31 = a31 – m3 .a21 a31 = 0 – 9/8 x 0 a31 = 0 – 0 a31 = 0

a32 = a32 – m3 .a22 a32 = 9 – 9/8 x 8 a32 = 9 – 9 a32 = 0

a33 = a33 – m3 .a23 a33 = -13 – 9/8 x (-5) a33 = -13 – 45/8 a33 = -59/8

a34 = a34 – m3 .a24 a34 = -61 – 9/8 x (-28) a34 = -61 + 252/8 a34 = -59/2

−59 8 =−59 2= 59 2.8 59= 4

8−5=−28 8−5(4)=−28 =(−28+20)/8 =−1

1 2−+=6 1 2−(−1)+4=6 =(6−5).2 =2

3) Método Gauss-Seidel

Equacionando as funções a partir das variáveis específicas (x, y e z) e das constantes do Sistema Linear:

x = 6 + y – z; ½ y = 8 – 3x – z; 2 z = -1 – 5x + y; -3

Criando valores fictícios de raízes para as variáveis x, y e z: V0 = [ 0, 0, 0] Realizando a primeira iteração com as raízes fictícias às equações definidas:

Iteração #1

Assim: V1 = (12 ; -14 ; 25)

Calculando a precisão de “Erro” - Primeiramente, alinhamos os resultados das raízes antigas (fictícios) com os novos resultados de raízes encontrados (última iteração):

V0 = [ 0 ; 0 ; 0 ] e V1 = [ 12 ; -14 ; 25 ]

- Após, calculamos a precisão do “Erro” utilizando os novos e os antigos valores das raízes :

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(12 – 0) / (12)] x 100 = |100,0| = 100,000%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(-14 – 0) / (-14)] x 100 = |100,0| = 100,000%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(25 – 0) / (25)] x 100 = |100,0| = 100,000%

- Assim, a prescisão de erro para cada raiz é de: Máx = ( 100% , 100% , 100% ) = 100% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero” :

x = 6 + y – z; ½ x = 6 + 1(0) – 1(0); ½ x = 6 x21 x = 12

y = 8 – 3x – z; 2 y = 8 – 3(12) – 1(0); 2 y = 8 – 36; 2 y = -28/2 y = -14

z = -1 – 5x + y; -3 z = -1 – 5(12) + 1(-14); -3 z = -75;-3 z = 75/3 z = 25

Iteração #2

Assim: V2 = [-66 ; 90,5 ; -139,833] Calculando a precisão de “Erro”: V1 = [ 12 ; -14 ; 25 ] e V2 = [-66 ; 90,5 ; -139,833] - Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(-66 – 12) / (-66)] x 100 = |118,1818| = 118,182%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(90,5 – (-14)) / (90,5)] x 100 = |115,4696| = 115,470%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(-139,83 – 25) / (-139,83)] x 100 = |117,8784| = 117,879%

Máx = ( 118,182% ; 115,470% , 117,879% ) = 118,182% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero”:

Iteração #3

Assim: V3 = [ 472,666 ; -635,082 ; 999,804 ] Calculando a precisão de “Erro”: V2 = [ -66 ; 90,5 ; -139,833 ] e V3 = [ 472,666 ; -635,082 ; 999,804 ]

- Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(472,666 – (-66)) / (472,666)] x 100 = |113,9633| = 113,963%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(-635,082 – (90,5)) / (-635,082)] x 100 = |114,2501| = 114,250%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(999,804 – (-139,833) / (999,804)] x 100 = |113,9860| = 113,986%

Máx = (113,963% ; 114,250% , 113,986% ) = 114,250% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero”:

x = 6 + y – z; ½ x = 6 + (1x(-14))