Numerico Bortoli

Fundamentos de C´alculo

Num´erico para Engenheiros

R´egis S. De Quadros

´ Alvaro L. De Bortoli

Porto Alegre, dezembro de 2009.

”O entendimento da essˆencia pode estimular a imagina¸c˜ao”

´ Alvaro De Bortoli

FBN 361.985; Direitos autorais: Prof. Quadros e Prof. De Bortoli

SUM´ARIO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Fontes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Propaga¸c˜ao de erros nas opera¸c˜oes aritm´eticas . . . . . . . . . . 15

1.2 Caracter´ısticas de um algoritmo num´erico de boa qualidade 17

1.3 Aritm´etica de ponto flutuante e sua representa¸c˜ao . . . . 18

1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 LOCALIZAC¸ ˜AO DE ZEROS DE FUNC¸ ˜OES . . . . . . . . . 20

2.1 Regras para determina¸c˜ao das ra´ızes de fun¸c˜oes . . . . . . 20

2.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Processos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 M´etodos da bissec¸c˜ao e da posi¸c˜ao falsa . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 M´etodos de Newton-Raphson, Newton Vi´ete e das secantes . . . 31

2.2.3 M´etodo da itera¸c˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 M´etodo de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 C´alculo dos juros de um financiamento . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Estiramento de cabos suspensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 SOLUC¸ ˜AO DE SISTEMAS LINEARES E N˜AO LINEARES 54

3.1 M´etodos diretos para sistemas lineares . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1.1 Invers˜ao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.2 Fatora¸c˜ao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 M´etodos Iterativos para Sistemas Lineares . . . . . . . . . 65

3.2.1 M´etodo de Jacobi: M´etodo dos deslocamentos simultˆaneos . . . 66

3.2.2 M´etodo de Gauss-Seidel: M´etodo dos deslocamentos sucessivos . 68

3.2.3 M´etodo das sobre/sub-relaxa¸c˜oes sucessivas - SOR/SUR . . . . 69

3.2.4 Convergˆencia de m´etodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Sistema mal condicionado e condicionamento . . . . . . . . 75

3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5 Introdu¸c˜ao `a solu¸c˜ao de sistemas n˜ao-Lineares . . . . . . . 82

3.5.1 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.2 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5.3 M´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.1 Tens˜oes em um circuito el´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.2 Estequiometria de uma rea¸c˜ao qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.3 Press˜ao para aterrar corpos de prova . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 AUTOVALORES E AUTOVETORES . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Obten¸c˜ao de autovalores/autovetores via determinantes . 96

4.2 M´etodo da potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 M´etodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Aplica¸c˜oes: sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAC¸ ˜AO . . . . . . . . . 106

5.1 M´etodo dos m´ınimos quadrados para dom´ınio discreto . . 106

5.1.1 Ajuste por um polinˆomio de grau p . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2 Ajuste por fun¸c˜ao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.3 Ajuste por uma fun¸c˜ao potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2 M´etodo dos m´ınimos quadrados para dom´ınio cont´ınuo . 111

5.3 Aproxima¸c˜ao trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1 Aproxima¸c˜ao trigonom´etrica para dom´ınio discreto: . . . . . . . 113

5.3.2 Escolha de melhor fun¸c˜ao de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.4 Interpola¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1 Interpola¸c˜ao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.2 Polinˆomios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4.3 Interpola¸c˜ao por spline c´ubico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.1 Tens˜ao-deforma¸c˜ao de a¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 DERIVAC¸ ˜AO E INTEGRAC¸ ˜AO NUM´ERICA . . . . . . . 137

6.1 Deriva¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.1 Exerc´ıcios sobre deriva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Integra¸c˜ao num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1 F´ormula dos trap´ezios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.2.2 F´ormula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.3 Quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2.4 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes mal condicionadas . . . . . . . . . . . . . 152